Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем кратко необходимые понятия и определения метода точечных отображений. Пусть движение динамической системы описывается системой дифференциальных уравнений вида dx.
(#i, ..., хп, ?) (і = 1, 2,..л), (1.1)
где правые части Xt либо 2я-периодичны по t, либо от t не зависят совсем. Будем изображать движение в (п -f- 1)-мерном пространстве переменных xlt х2,. . ., хп; t. Обозначим через Р0 (рис. 5} плоскость t = 0, а через Р2л — плоскость t = 2я. Траектория системы (1.1), начинающаяся в произвольной точке М плоскости
НЕОБХОДИМЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
107
Р0, через время t = 2л пересечет ПЛОСКОСТЬ Р%П в некоторой точке Міп- Если теперь отождествить плоскости і = 0 и і = 2л (т. е. спроектировать плоскость Р2п на плоскость Р0), то получим точечное отображение Т плоскости Р0 в себя. Это отображение будем записывать в виде равенства
И = ТМ или при помощи формул
= fi (*i, х2,. ..,хп) (і = 1, 2,. . ,,n).
(1.2).
К точке М в свою очередь может быть применено отображение Т, которое переведет ее в точку М. Таким образом,
м = Т (И) = Т (ТМ) = гм.
Преобразование, состоящее в те-крат-ном последовательном применении преобразования Т, обозначают Тш.
Точка М* называется неподвижной точкой преобразования Т, если преобразование Т переводит ее в себя, т. е.
М* = ТМ*.
Уравнение для определения неподвижных точек преобразования в координатной форме получается из (1.2):
х* = fi (х*, **,•••, х$) (i = 1, 2, . . п). (1.3)
Назовем 8-окрестностью точки М* совокупность точек М, для которых р (М, М*) < е. Здесь через р (М, М*) обозначено расстояние между точками М и М*:
р (М, М*) = У (хг - xif + . . . +(хп- X*)2.
Введем, согласно [76, 77], понятие устойчивой и неустойчивой неподвижных точек. Неподвижная точка М* называется устойчивой в малом, если для любой точки М, принадлежащей достаточно малой є-окрестности М*, имеет место неравенство
р (ТтМ, М*) < ет,
где max ет -> 0 при в -> 0. Неподвижная точка М* называется неустойчивой, если для некоторого е)>0 в любой сколь угодно малой окрестности точки М* есть точки М, которые при последовательном применении к ним преобразования Т выходят за пределы е-окрестности неподвижной точки М*.
Рис. 5. К понятию точечного отображения.
108
ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ
[ГЛ. S
Между точечными отображениями Т и движениями системы существует очень тесная связь. Например, справедлив следующий общий принцип: для того чтобы решение хт (t) = (і),. . ., xn (t))
неавтономной системы было 2л-периодическим, необходимо и достаточно, чтобы точка х (0) была неподвижной точкой отображения Т:
Тх (0) = х (0).
Имеет место соответствие не только между периодическими движениями и неподвижными точками преобразования Т, но и соответствие между их устойчивостями. Именно, чтобы периодическое движение было устойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы была устойчивой соответствующая неподвижная точка преобразования Т.
§ 2. Перенесение теоремы Четаева
на точечные отображения
' В работе [76] Неймарком доказана теорема, представляющая собой перенесение теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости на точечные отображения. Нам в дальнейшем, однако, потребуется теорема о неустойчивости неподвижных точек точечного отображения, аналогичная теорема Четаева о неустойчивости движения. Докажем следующую теорему, представляющую собой перенесение теоремы Четаева на точечные отображения.
Теорема. Пусть М* = (х*, х?,. . ., х*) — неподвижная точка отображения Т, и пусть возможно найти такую непрерывную функцию V (х*, х*,. . ., х*), что
1) V (хГ, х2*....агЙ) = 0;
2) в сколь угодно малой окрестности точки М* существует область V 0, на границе которой V = 0;
3) во всех точках М области V 0 разность V (ТМ) — V (М) положительна.
Тогда неподвижная точка М* неустойчива.
Доказательство теоремы аналогично соответствующим доказательствам Четаева и Неймарка. Зафиксируем некоторое достаточно малое число е0 (0 < е0 1). Через F&, обозначим пересечение области V 0 и замкнутой во-окрестности точки М*. Возьмем точку М0, сколь угодно близкую к неподвижной точке М* и принадлежащую Fe„. По условиям теоремы такой выбор точки М0 всегда возможен, так как область V 0 примыкает к точке М*. Покажем, что при выполнении условий теоремы при некотором т точка ТтМ0 лежит вне е0-окрестности точки М*.
Предположим противное, т. е. пусть точки ТтМо при всех т лежат в е0-окрестности. Тогда последовательность {ТкМ0} будет ограниченной. Кроме того, ни одна точка этой последовательности
РАЗЛОЖЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В РЯД
109
ре может выйти из области V 0, так как по третьему условию теоремы V (ТМ) _> V (М).
Рассмотрим теперь числовую последовательность (F (ТкМ0)}. Эта последовательность будет ограниченной в силу непрерывности функции V. Кроме того, она будет монотонно возрастающей, так как, согласно третьему условию теоремы,
V (М0) С V(TM0) С V (Т*М) < . . . < V (ТкМ0) <...
Следовательно, существует предел этой последовательности
lim V (Т*М0) = а (а > V (М0)).
fc-*-oo
Из ограниченной последоватеьности {ТкМ0} выделим сходящуюся подпоследовательность
