Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маркеев А.П. -> "Точки либраций в небесной механике и космодинамике " -> 32

Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике — М.: Наука, 1978. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): tochkiliberaciyvnebesnoy1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 106 >> Следующая

§ 2. Формальная устойчивость. Теорема Брюно
В этом параграфе рассмотрим некоторые результаты, полученные при исследовании формальной устойчивости гамильтоновых систем. Определение формальной устойчивости было приведено в § 4 четвертой главы. Понятие формальной устойчивости является очень важным при исследовании устойчивости на конечном (но очень большом) интервале времени. Наличие формальной устойчивости означает, что неустойчивость по Ляпунову (если она существует) не обнаруживается при учете в разложении функции Гамильтона членов до сколь угодно большого (но конечного) порядка относительно координат и импульсов возмущенного движения.
При наличии формальной устойчивости, если и существуют траектории, далеко уходящие от невозмущенного движения, то движение по ним происходит крайне медленно. Соответствующие оценки получены в работах Зигеля [28], Мозера [158, 159], Глим-ма [138]. Для решения вопроса об устойчивости в большинстве
§ 2\ ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 9f
физических задач, описываемых гамильтоновыми дифференциальными уравнениями, формальной устойчивости вполне достаточно. Следует заметить также, что из устойчивости по Ляпунову, очевидно, следует формальная устойчивость. Обратное утверждение не доказано, но, во всяком случае, пока не известно ни одного примера гамильтоновой системы, которая бы была формальна устойчива и в то же время была неустойчива по Ляпунову.
Приведем некоторые условия формальной устойчивости. Пусть рассматривается гамильтонова система
dxj дН Ау- дН
— -— ЧГ = --аГ 0 = 1,2,..., и), (2.1)
dt ду}
і
где Н — аналитическая функция относительно Xj, yj и 2я-перио-дическая по t. Разложение Н в степенной ряд начинается с квадратичных членов. Если мультипликаторы линеаризованной системы (2.1) различны и имеют модули, равные единице, то система
(2.1) устойчива в первом приближении, а функция Гамильтона Н в подходящим образом выбранных координатах (см. § 5 главы 2) может быть записана в виде
П
Н — -у Xj (xj -(- yf) -f- H3 -f- Ні -)-..., (2-2),
j=i
где Xj — вещественные числа, Hm — однородные многочлены степени т относительно xj, уj, зависящие 2я-периодическим образом от времени. В статье [157] Мозер показал, что если
П 71
2 jrijXj 0 (mod 1) для целых > 0, (2-3).
j=i j=i
то нелинейная система (2.1) формально устойчива.
Условие (2.3) является довольно слабым, так как в нем не используется информация о нелинейных членах в уравнениях (2.1), а ограничения на величины Xj весьма сильные. Но пусть теперь величины Xj таковы, что
П
2 ШіХіфО (modi) для целых т;, 0<2|»ъ|^4. (2.4)
3=1
Тогда существует каноническая замена переменных х}, у} ->¦ qj, Pj, задаваемая преобразованием Биркгофа, такая, что новый гамильтониан есть
П
Н = (X, г) -j- 2 afc) тгкгт -j- Нь -)-... (2.5)
Jc, m=i
2rj = Qi + Ріі ХТ = (Xlf. . Xn), rT — (rn • • •! r„), (X, r) = XjT, Xnrn.
92 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
В работе [158] Мозер для случая п = 1 доказал формальную устойчивость, если в (2.5) ап Ф 0. Для произвольного п Глимм [138] доказал формальную устойчивость при условии, что квадра-
П
тичная форма 2 ак,тГкгт является знакоопределенной. В статье
к,т =1
Брюно [13] доказана следующая теорема, которая содержит все указанные выше результаты.
Теорема. Если у системы (2.1) выполнено условие (2.4) и в записи
(2.5): 3
П
S ак,т1к1тФ 0 (2.6)
к, m=1
при векторе IT = (Ilt . . ., 1-а) ф 0 и принадлежащем пересечению квадранта mj > 0 и линейной оболочки множества, образованного всеми целочисленными векторами с компонентами, являющимися решениями уравнения
П
0 (modi), (2.7)
k=l
то положение равновесия Хк = уц — 0 (k = 1, . . ., п) системы
(2.1) формально устойчиво.
Если в системе (2.1) Н не зависит от t, то формулировка ре зультатов отличается от приведенной выше тем, что в условиях
(2.3), (2.4) и (2.7) вместо 0 и = 0 (mod 1) надо написать Ф 0 и = 0 соответственно.
Приведем доказательство теоремы Брюно. Для удобства доказательства перейдем, как и в [13], к комплексно сопряженным переменным
Ч = *к + іУк, Ч = *к — ЇУк (к = і, 2, . п).
Система (2.1) перейдет при этом в систему
й-Ж = ^ ^Г = -2Х (*=1.2....,И), (2.8)
которая является канонической с гамильтонианом
п
2іН — і 21 -j- ... (2.9)
k=l
Разложение гамильтониана (2.9) запишем в такой форме:
2?# = 2j?k, iZkz!,
где kT = {к\,. . .,кп), 1т = (/],. . , In)— векторы с целочислен-
I It
яыми неотрицательными компонентами, a z = z1?. . ., znn, кроме того, gktl (t + 2п) = gk,i (t) = — g,,k (t).
§ 21
ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
93
Имеет место следующее утверждение 1157].
Лемма. Существует формальная каноническая замена переменных Х]У] —¦>- fyr]^ такая, что (2.8) переходит в
где ?т]у, t,j = |3- — іг)7-; g7-, г)7- — вещественные величи-
ны, а формальный степенной ряд
где N — целое число и, следовательно, вектор 1 — к является решением уравнения (2.7). Коэффициенты не зависят от t.
Эта лемма является обобщением на резонансный случай результата, получаемого при помощи преобразования Биркгофа, приведенного в главе 3 в случае отсутствия резонансных соотношений между величинами %}. На доказательстве леммы мы не останавливаемся, так как оно почти дословно повторяет соответствующие рассмотрения главы 3.
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed