Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маркеев А.П. -> "Точки либраций в небесной механике и космодинамике " -> 33

Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике — М.: Наука, 1978. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): tochkiliberaciyvnebesnoy1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 106 >> Следующая

Пусть 2Г] = Ijlj (гj 0). Система уравнений (2.9) имеет два
типа формальных интегралов:
1) (р, г), где векторы рт = (р15. . ,,рп) ортогональны к действительной линейной оболочке векторов тт = (т1, т2,. . -,тп), являющихся решениями уравнения (2.7);
Так как вектор 1 — к является решением уравнения (2.7), то все коэффициенты в правой части (2.13) равны нулю.
Далее очевидно, что
П
2іГ = 2 Yfc, = +
(2.11)
содержит только такие члены, для которых
(U —k ) = N,
(2.12)
2)
if = 2іГ — і (%, г).
Действительно,
(2.13)
d2iT о. аг
Y^VuiNeimikll-
(2.14)
dt at
94
МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
Из формул (2.13) и (2.14) получаем
‘'|2ir^‘(t'r)1 = 21 ?, - і (а, я)" * L V». I" - (Ь. I - к)]
ft, г
Из (2.12) следует, что все коэффициенты в последнем разложении равны нулю.
Таким образом, существование формальных интегралов 1),
2) доказано. Пусть pW,. . ., p<s> — базис линейного множества векторов р. Если существует т линейно независимых резонансных соотношений (2.3), то s = п — т. Сумма
G = S (р«>, г)4 + F2 = С8 + ¦ - -
3=1
является формальным интегралом, как полином от формальных интегралов. Покажем, что из условия (2.6) следует положительная определенность формы
Gs= S (P(j), г)4 + ( S а*тГъГт) .
3=1 6, т=1
Здесь в правой части все слагаемые неотрицательны и первая сумма обращается в нуль только для тех векторов г, которые принадлежат пересечению квадранта ш;>0и действительной линейной оболочки множества, образованного целочисленными векторами ш, являющимися решениями уравнения (2.7). Но для атих г по условию (2.6)
I VI \2
I ®ftm^Vm) О-
ft, т=1
Итак, G — формальный определенно-положительный интеграл, и, следовательно, теорема Брюно доказана.
§ 3. Оценка скорости диффузии Арнольда. ^
Результаты Нехорошева
В § 1 построены простые примеры многомерных гамильтоновых систем, которые устойчивы для большинства начальных условий, но по Ляпунову неустойчивы. Скорость диффузии Арнольда в примерах § 1 оказалась весьма значительной. Однако, как правило, диффузия Арнольда (если она существует) должна быть экспоненциальной, что показано Нехорошевым в его работах [78-80].
Нехорошев изучал системы с аналитической функцией Гамильтона вида
Я = Я0 (I) + єЯх (I, <р), (3.1)
ОЦЕНКА СКОРОСТИ ДИФФУЗИИ
95
где 0 < e<g; 1, 1т = (/lv . /„), {рт = (ф1?. . Ф„). Функция Нх
2іт-периодична по угловым переменным фг. Нехорошевым доказана экспоненциальная оценка сверху скорости диффузии Арнольда при условии, что Н0 — крутая функция. Определение крутых функций дано в [81]. Непосредственная проверка условий крутизны сложна, поэтому мы не приводим здесь этого определения. Некоторые важные достаточные условия крутизны, полученные Нехорошевым, приведены ниже.
Примерами крутых функций являются функции следующего вида.
Определение [80]. Функцию Н0, определенную в области G евклидова пространства Еп, назовем квазивыпуклой, если для каждой точки I' из G выполнены условия:
а) grad Н0 |г ф 0;
б) сужение квадратичной компоненты
касательную к поверхности уровня функции, знакоопределенно;
Для функций Но от двух переменных достаточным условием крутизны является отличие от нуля определителя в формуле (1.4) на стр. 88.
функция Но будет крутой, то существуют константы а 0, Ъ 0 такие, что для каждого решения 1 (t), ф (t)
где ? и а зависят только от Н0 и удовлетворяют неравенствам
П
разложения функции Н0 в этой точке на гиперплоскость
П
здесь Хі = ІІ — Ij.
Пусть
показал, что если в (3.1)
|| I (t) — I (0) || < еь при всех t є [0, Т],
(3.2)
где
Т = ехр [(1/е)°].
(3.3)
Для констант а и Ъ получены такие значения:
_ *•* 7 _ ?*
Щ + Зп + 14 ’ 0 — а (12? + Зл + 14) ’
(3.4)
1{Н о)>
п(п----1)
2
(3.5)
96
МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
(причем для квазивыпуклых функций, и только для них, равенство достигается) и
а (Н0) > 1 (3.6)
(причем для квазивыпуклых функций равенство достигается).
Требование крутизны функции Н0 существенно. В примерах,
рассмотренных в § 1, функции Н0 = Н — (см. (1.7) и (1.9))
не являются крутыми.
Приведем два достаточных условия крутизны для функций от трех переменных [80]. Функция Н0 (I) будет крутой в некоторой области, если
1) для всех точек этой области определитель (1.4) отрицателен;
2) для каждой точки I* этой области этот определитель больше нуля и система
Vі _ дН0 (Ї*) д;. —; 0; (3.7)
4-і дІі
1 = 1
^ дгНп (I*)
дІідІі г, 3=1
Xi Xj = 0, (3-8)
. %, dlidlJdlk t, J, Л=1
PHo (I*) n /4 Q\
а і.аїлі. xixixk — 0 (3-9)
не имеет решений, кроме тривиального хг = xz — х3 = 0. Здесь
г г*
Xf /j Д.
Функция Н0 «общего положения» удовлетьоряет одному из приведенных достаточных условий крутизны. Отметим, что выполнение условия 1) означает несовместность (при х® + хі + Хз Ф Ф 0) системы (3.7) и (3.8) и, значит, при условии 1) функция Н0 квазивыпукла.
Пусть изучается движение в системе с 2л-периодической по t, аналитической функцией Гамильтона
Н = Но (A, h) + еЯх (A, Iz, ф1, ф2, t). (3.10)
Введением «импульса» 13 и «угловой переменной» фз = t задача сводится к автономной системе с тремя степенями свободы, и несовместность (при х\ + х\ Ф 0) системы двух уравнений
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed