Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
где
і
f{t) = J [« (t) cos (k, V)x — b (t) sin (k, %) x] dx,
(3.10)
g(t) = ^ [a (x) sin (k, X,) t + b (t) cos (k, k) x] dx. і
Полагая теперь в (3.5) t = 2л, получаем производящую функ-цию точечного отображения Т в окрестности неподвижной точки Гі = Г2 = . . . = г„ = 0.
§ 4. Нормализация точечного отображения в окрестности неподвижной точки
После получения точечного отображения встает более сложная и самая важная задача об исследовании свойств точечного отображения в окрестности неподвижной точки. Свойства точечного отображения удобнее всего исследовать, если выбрать такую систему координат, в которой это отображение имело бы наиболее простой вид. Эту простейшую форму точечного отображения будем называть его нормальной формой. Нормальная форма для случая отображения Т плоскости в себя подробно изучена Дж. Д. Биркгофом [28, 105]. Общие результаты о нормальной форме дифференциальных уравнений и точечных отображений, задаваемых периодическими по t системами, изложены в работе А. Д. Брюно [11, 12].
Здесь получим нормальную форму точечного отображения, задаваемого канонической системой дифференциальных уравнений. Будем считать, что нормализация линейной части отображения не требуется. Это возможно, когда квадратичная часть функции
g 4J НОРМАЛИЗАЦИЯ ТОЧЕЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 113
Гамильтона, соответствующей системе дифференциальных уравнений, имеет нормальную форму.
Итак, пусть г. помощью процедуры, описанной в предыдущем
Параграфе, мы уже получили производящую функцию S (срь г®) тображения Т:
S = rj (фг — 2лАгі) “Ь гп (фп — 2jtA^) -f- S3 (ф,,Гі) -j- . . .
(4.1)
Явный вид отображения Т получается после разрешения относительно г4, фг уравнений
dS о dS .. оч
(4-2)
Проведя несложные выкладки, получим отсюда
. = го , j9?a. , _^4_ _ d*S3 dSs * * 9ш? дф? 2шт1 Эф? д®9 Эг? '
9ф® дф® Эф? Эф® дті
0,01 д$з dsi. , V* і
(4.3)
где Sm = *Sm (ф® -Ь2л^г, г?).
Введем теперь новые переменные pj, 0( так, чтобы максимально упростить отображение (4.3). Новые переменные введем при помощи производящей функции
W = ріфі + • • • +рпфп + Ws (Рі, фг).
Эта производящая функция задает преобразование rh ф4 рг, 0г-Переход от переменных г®, ф? к переменным р®, 0® производится при помощи той же производящей функции W, в которой надо
о о
только р г, Фг заменить на рі, фі.
Из формул замены переменных
dW Q 3W
Гг = -о— , 0І =
дф. ’ 1 др{ получаем
, aw'e (р*. е*) ^отт,(Р1104) арг3(р,,0,) (
Гі Рі + ае4 2j ^ эвк дРк +
фг = О» —
(4.4)
I уі 0 " 3 ІРг» wiJ 3 (Рі* J
Zj ‘ др; дОк дрТ
дРг і—і "Vi
k=l 1 *
Связь между гі, ф® ир®, 0? получается по тем же формулам (4.4), в которых надо всем переменным приписать верхний индекс нуль.
114 ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ [ГЛ. S
Попытаемся теперь так подобрать функцию Ws, чтобы в производящей функции F (р°, 0і) отображения pj, 0j -»-р?, 0® отсур-ствовали члены третьей степени относительно У~ф. Подставим выражения старых переменных гІ5 фі и г?, ф° через новые р 0» и р“, 0? соответственно в формулы (4.2). Тогда
(4.5)
„ і аі^3(р9, є») э^а(Р.,04) _ ал’, (е4, р») ,
pi = pi + дё Щ + ж— + • ¦
ао 0 0-1 ^.(РіЛ) ЭРГ,(р®,0О) dS3 (0J, р9)
= -------+ +—*Г“ +"'
Здесь в явном виде выписаны только первые нелинейности по У~р1 и Vр°. Из формул (4.5) получим
Pi = Pi Ч--gg- [Wt (р®, 0| - 2яА<і) - W3 (Pi, 0{) -f- Sa (0j, Pi)] -f- . . .r
(4.6)
0? = 0j - 2nK + - A- [Ws (p& 0і - 2яЛі) - W3 (p?, 0i) + Ss (04, P?)] + ...
дР і
Таким образом, члены третьей степени в новой производящей функции
F (р?, 0j) == р? (01 — 2пкт) -(-р® (0„ — 2яА,п)
+ F3 (р?, е^+^4 (р?, 0,) + . . . (4.7)
имеют вид
F* = Ws (pj, 0і - 2пЯ-{) - (р?, 0і) + S9 (0i, Р?). (4.8)
Покажем, как надо выбрать W3, чтобы функция F3 обратилась в нуль. Возьмем в S3 два таких одночлена:
р°“ [ст sin (к, 0) + Р cos (к, 0)]. (4.9)
Здесь р°“ = р?ар°а*. . . of", 2ai — целое неотрицательное число,
2 (aj + Оа + . . . + сз^п) = 3, ст и р — некоторые числа, одновременно не равные нулю, через (к, 0) обозначена величина + *|* ^02 “f* • • • “f* ^ті 0щ где | А^1 | -j- | &2 | -(-... -j-1 к3 | = 3 или 1. Соответствующие одночлены в Ws возьмем в виде
р°а [у sin (к, 0) -(- б cos (к, 0)] (4.10)
и подберем коэффициенты у и б так, чтобы подобные им одночлены в F3 отсутствовали. Подставляя (4.9), (4.10) в (4.8), получаем, что для этого y и б должны удовлетворять такой системе линейных
ПОЛУЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА
115
алгебраических уравнений:
V [1 — cos 2я (k, X,)] — б sin2n (к, X,) = а, (4.11)
у sin 2я«(к, X,) + б [1 — cos 2я (к, X)] = р.
Определитель этой системы равен 4 sin2n (к, X,). Поэтому, если (к, А,) не будет целым числом при | ki | +1 к2 | + • • • + | кп \ ^
3, то F3 можно полностью уничтожить. При этом коэффициенты у и б получаются такими:
у =-i-a +-І-ctg л:(кД)[3, 6 =------i-ctg л (к, Х,)а + (4.12)
Проведя некоторые достаточно громоздкие выкладки, получим, что при таком выборе W3 члены четвертой степени в производящей функции F отображения pj, 0г- -»-р?, 0? вычисляются по формуле
Г, С ,Л , Vі аТ73(Р?,0,-2^) аЗД.р?)
^4 = ^(ei,Pi)+2_J----------Щ---------¦----------• (4ЛЗ)
