Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
<311)
i, j =1
2
І7ІГ5Г-хіх^ = 0 (3.12)
2_I di;dl;dl,_ ХіХ1Х*
і, і, Л=1
5 4J
РЕЗОНАНС ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
97
будет достаточным условием крутизны функции #о(Л> /а) + Із и, значит, условием, достаточным для применимости оценок
(3.2) - (3.6).
§ 4. Неавтономная система с двумя степенями свободы.
Случай резонанса третьего порядка
Рассмотрим задачу об устойчивости положений равновесия неавтономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Будем считать, что соответствующая функция Гамильтона 2я-периодична по времени и аналитична относительно координат и импульсов. Кроме того, предположим, что линеаризованная система устойчива и все ее мультипликаторы различны. В этом случае функция Гамщіьтона в подходящим образом выбранных переменных qt, pt (см гяпву 2) имеет вид
Н (Qj, Pj, t) = -у (q\ + pi) -f- -g- Х2 (q\ -j- р\) +
ОО
+ ^ KwvA^ql'ql'Pi'p*'- (4.1)
vl+v,+|iH-|J2=3
Здесь ± ikj (j — 1,2) — характеристические показатели линеаризованной системы, V], — целые неотрицательные числа,
(t + 2л) = (t).
Если величина + к2Х2 не будет целым числом для любых целых неотрицательных чисел к1 и к2, то, согласно Мозеру (см. главу 2), система, имеющая функцию Гамильтона (4.1), формально устойчива. С другой стороны, если величина + к2Х2 не будет целым числом для целых чисел ki и А2, удовлетворяющих равенствам | кг | + | к2 [ = 3 и | кг | + | А2 | = 4 (т. е. в системе от-
сутствуют резонансы третьего и четвертого порядков), то при помощи преобразования Биркгофа qj, pj —*¦ q’jp] функцию Гамильтона (4.1) можно привести к виду
Н = + Х2г2 + Сго^і + c11r1r2 + Co2r\ + О ((r1 -f- r2)’/*)
(4.2)
(2г; = q* + pf, си = const).
Согласно теореме Брюно (см. § 2), при выполнении неравенства cwk\ + сігкгк2 + стк\ Ф 0 для целых неотрицательных чисел, удовлетворяющих уравнению А^ + А2А,2 = тп (тп — целое число), имеет место формальная устойчивость. Как следствие, отсюда получаем, что система с функцией Гамильтона (4.1) формально устойчива, если квадратичная форма c20r* -f- c11r1r2 + c02r\
4 А. П. Маркеев
98
МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
знакоопределенна при гх > О, г2 > 0. Последнее утверждение есть частный случай для п = 2 условия формальной устойчивости, полученного Глиммом [138]. И, наконец, отметим еще, что если с?! — 4с20С02 ^ то имеет место устойчивость для большинства начальных условий (см. § 1).
Рассмотрим, следуя [61], задачу об устойчивости, когда в системе есть резонансы третьего или четвертого порядков. Будем предполагать, что число /с^ + к2\2 является целым для одной пары целых неотрицательных чисел къ и к2, сумма которых равна трем или четырем. Таким образом, будут рассмотрены девять резонансных случаев:
(1) ЗХ.1 = тп, (2) ЗХ>2 = тп, (3) %i -f- 2Х>2 = тп,
(4) 2Х.1 + = тп, (5) 4Х,х = тп, (6) 4Х,2 = тп, (4.3)
(7) 2 (Xi -f- А.а) = тп, (8) X>i -j- ЗХ2 == тп, ($) ЗХ.1 -f- = тп.
Так как мультипликаторы предполагаются различными, то целые, полуцелые и удовлетворяющие равенствам Х1 + X?. = тп значения ki не рассматриваются. Это означает, что в системе нет резонансов до второго порядка включительно и задача об устойчивости нелинейной системы решается для значений параметров, лежащих внутри области устойчивости линеаризованной системы.
Исследуем сначала устойчивость в случаях (1) — (4). Введем новые канонические переменные q*, pf при помощи преобразования Биркгофа, задаваемого производящей функцией
S — ЯіРІ + ?2РЇ S3,
где
S,= S s,m{t)ql'ql'pT'pT\
V1+V2+Hi+tl,=3
Здесь SvjVtmnj if “Ь 2я) = SVivz(i1Hj it).
Обозначим новую функцию Гамильтона через Н (qj , pj , t). Пусть Их и Н* — совокупности членов порядка к относительно координат и импульсов соответственно в старой и новой функциях Гамильтона. Из тождества, связывающего Н, Н* и S,
Н*(-$’рг-?-•')+ ^- (4'4)
получаем
н\ = Н2, Н* = Я3 + DS„ (4.5)
(dS3\* _ (as^l 9Яз dSs_ __ dS,
;=1 з j j
РЕЗОНАНС ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
99
В (4.4) функции имеют своими аргументами величины qj, р* и t, через D обозначен оператор
Введем обозначение Оуц — (l*i - vi) -j- ^2 (ц.2 — ^г)- Если величина аХц не будет целым числом при | — vx| + | ц2 —v2 | =3
(т. е. отсутствуют резонансы третьего порядка), то, выбрав
соответствующим образом S3, можно добиться выполнения тождества #3 = 0. Для 2я-пери0дических коэффициентов SVly«№ получаем после несложных выкладок такие выражения:
$0300 — Щооз “Ь м0102? $0102 = м0102 — Sugggg, $0201 = 1*0102 Ч- Зу00031
$0003 = V0102 — ^ОООЗ» $3000 = и00з0 Ч- u1020t $1020 — иЮ20 — Зиоозої
$2010 = 1*1020 Ч- З^оОзО) $0030 = 1*1020 — ^ООзОї $1002 = м0111 —
— W0012 — ^0210, $1200 = м0012 “Ь U0210 “Ь Mom, $0210 = 1*0111 + 1*0012 “Ь 1*0210)
$0111 = 2 (Мо2Ю — ^0012)1 $0012 = 1*0111 — ^0012 — 1*02101 $1101 = 2 (l*0012 “ у0210) і
$0120 = М10Ц — W0021 — ^2001) $2100 = ^0021 “Ь W200i + иЮЦ,
$2001 = 1*1011 + 1*0021 “Ь 1*2001, $0021 = ^ЮЦ — 1*0021 — у2001>
$1011 = 2 (м2001 — ^002l)i $1110 = 2 (1*0021 — t*200l);
= g (t) sin Chvt + / (t) COS Chv.t, (4.6)
= g (t) COS CLvvt — / (t) sin Ovut;
g (t) = ctg яомц/і (2я) + Iг (2я) — 21 % (t), f (t) = Ix (2jt) — ctg Jtav|172 (2jt) — 2Ix (t), t
