Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
И0040 = ~2 (^0040 4~ ^4910 ^202о)> (/’0040 — у (^3010 ^1030) 1
Н'0004 = у (^0004 4~ ^0400 ^0202), ^0004 — у (^0301 ^ОЮз), .
И1300 = ~2 (^1300 4~ ^0013 ---- ^1102 -- ^021l)> ^1300 = ~2 (^0112 4" ^1003 ----
--- ^0310 -- ^1201)1
И3100 = ~2 (^3100 4" ^0031 ---- ^1120 -- ^2(11 )> ^3100 = у (^1021 4" ^0130 -----
^2110 ^3001 )l
' 1 /Г ^ | j -І* Г ^ Г ? \ ^ / їі*^* ] т ^
^2200 — ‘2'(“'0Гі22+Л2,2^0 Л0220 «2302 Л11Ш> ^2200“ \Л0121 ~Г Л1012 -------
^1210 -- ^210l) •
(5.4)
В формулах (5.3) — (5.4) величины h*lVzlll]il суть коэффициенты
*Vi *Va *Ui *Ua і тг*
при соответствующих степенях q± q2 рг р2 в функции //4, вычисляемой по формулам (4.5).
Для каждого из резонансных случаев (5) — (9) введем величины Aj, В) формулами
Аъ — VxLin 4- У2т,п, Въ = с20,
Ао УГхтоі^~ Уооо4’ с°2’
Л 7 = Y ^2200 + ^2200’ = °20 + Cl1 + С°2’ (5*5)
As = 31^3 (^i300 4~ УІ300)> Въ — с2о 4~ Зсп4- 9с02,
-4в = 3 УъЩ—fn^), В9 = 9с20 4~ Зсц 4- с 02.
Теорема. При выполнении неравенства Aj | В] \ положени-равновесия неустойчиво, при А} ¦< | Bj \ имеет место устойчив-
104
МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
востъ при учете в функции Гамильтона (5.1) членов не выше второго порядка по гг. Если в (5.1) функция Я — Я' будет знакоопределенной функцией, то положение равновесия формально устойчиво.
Докажем теорему в случае (5). Для доказательства первого утверждения возьмем функцию Четаева в виде V = FXF2, где
Fi = r“ — r2, Fa = rl cos 4дфх (5.6)
(а = 1 + є, 0 < є 1, 2 < а < 3).
За область V 0 примем область (Fx 0, —п/8 а < ф < п/8 а). В этой области r2 == fjr“/a (0 < Р < 1). Для производной получаем такое выражение:
_ _ 4г®+3 {(аЛ5 cos 4фх + gx) cos 4афх + 2 (1 — (і2) х X [Аъ cos 4єфх — Въ sin 4афх + є sin 4афх (As sin 4фі — Въ) + g2]}, (5.7)
где функции g1 и g2 сколь угодно малы при ги стремящемся к нулю.
Из (5.7) видно, что при As | В5 | величину е можно выбрать настолько малой, что функция dV/dt будет определенно-положительной в области V ]> 0 в достаточной близости к началу координат. Тем самым утверждение теоремы о неустойчивости доказано.
Второе утверждение теоремы доказывается очень просто. «Укороченная» система с функцией Гамильтона Я — Я' имеет два интеграла r2 = const и Я — Я' = const Для доказательства устойчивости «укороченной» системы воспользуемся теоремой Ляпунова об устойчивости. Функцию Ляпунова W возьмем в виде
W = г\ + (Я — НУ. (5.8)
При А 5 < | Вй | эта функция, как легко видеть, будет определенно-положительной, откуда, согласно теореме Ляпунова, следует утверждение доказываемой теоремы.
Покажем теперь справедливость третьего утверждения теоремы. Применяя преобразование Биркгофа, а затем преобразование (4.10), гамильтониан (4.1) можно формально привести к функции, не зависящей от t во всех порядках. Тогда выражение G = Я будет формальным интегралом исходной системы дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона (4.1). Получаем
G = Gi -4* С?5 -4*. . . (Gt = Н — Я').
Поэтому, если Я — Я' будет знакоопределенной функцией, то положение равновесия формально устойчиво. Теорема полностью доказана.
§ 5] РЕЗОНАНС ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 105
В резонансном случае (7) неустойчивость доказывается при помощи функции Четаева V — где
Vi = г2 — (гх — г2)2, F2 = гггг cos 2а (фх + ф2)
(а = 1 + е, 0<е<^1, 2 < а < 3). (5.9)
Устойчивость «укороченной» системы в случае (7) доказывается при помощи функции Ляпунова
W = (гі - г2)2 + (Я - Я')2.
В случае (8) функцию F можно взять в виде V — где
= r“ — (r2 — 37-J2, F2 = г2 Уггг2 cos а (фх + Зф2)
(а = 1 + е, 0 < е 1, 2 < а < 3), а функция W в этом резонансном случае может быть взята в виде
W = (rt — З/*)4 4- (Я - ну.
Рассмотрение резонансов (6) и (9) аналогично рассмотрению резонансов (5) и (8) соответственно.
ГЛАВА 6
МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ НОРМАЛИЗАЦИИ И УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
§ 1. Необходимые понятия и определения
Практическое применение изложенных в предыдущих главах результатов теории гамильтоновых систем требует эффективных способов получения нормальной формы функции Гамильтона. Линейную нормализацию можно осуществлять при помощи алгоритма, изложенного во второй главе. Задача нелинейной нормализации более сложна и весьма громоздка. Для автономных систем она сводится к проведению некоторых алгебраических операций над алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Если в изучаемой задаче требуется получить нормальную форму гамильтониана с точностью до членов не выше четвертого поряд ка, то можно воспользоваться расчетными формулами, приведенными в предыдущих главах. Трудности нормализации неизмеримо возрастают при увеличении числа степеней свободы изучаемой динамической системы, а также когда функция Гамильтона явно содержит время. В последнем случае без расчетов на ЭВМ уже нельзя обойтись, так как при нахождении производящей функции нормализующего преобразования неизбежно приходится решать задачу нахождения периодического решения некоторой системы дифференциальных уравнений.
В настоящей главе описан разработанный в [61] алгоритм нормализации 2я-периодических по t гамильтоновых систем, основанный на применении метода точечных отображений [75]. Кроме того, здесь же рассмотрена задача об устойчивости неподвижных точек отображений в случае резонанса.
