Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
h (t) = J (uvlV!|ilM! cos aVVLx — sin ax^x) dx,
0
(
12 (0 — ^ sin OvjiX -f- ^VlVsip.iM2 COS ax\i^) dx\
0
' 1 '1
"ООО.) = g (^0300 ^0102), 1*0003 = "g- (^0201 — ^000.1)1
1 , 1
M0102 = g (^0102 “І- ЗА0300), 1*0102 = -g- (^0201 “І- ЗАоООз)»
' 1 '1
M«030 = ~o~ (^3000 ^1020)1 ^*0030 — ~о~ (^2010 — Л0030)?
100 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
/ 1 * 1 г
м1020 = -g- (^1020 + ЗАзооо)) vi020 — ~g~ (^2oio + ІЗАоозо)і
' 1 ' 1
иоіи = (^1200 + ^іоог)* Ь’ош = (^0012 + Aozio)i
Г 1 '1
U0012 = -g- (^1200 --- ^1002 - ^Olll) > У0012 = _g~ (^0210 - ^0012 + ^uoi)>
' 1 ' 1
м0210 =¦ -g“ (^1200 — ^1002 + Лот), У0Ї10 — ”g~ (h<)210 — ^0012 — ^110l),
1 ' 1
м1011 = "4“ (^2100 + ^012о)і ^1011 = (hiotl + Лоогі))
1 ' 1
М0021 = ~g“ (^2100 — ^0120 — Л10ц), У0021 = “g~ (^2001 — ^0021 + Аціо)>
1 ' 1
м2001 = “g~ (^2100 — ^0120 + Ліон), 1^2001 = ~g~ (^2001 — ^0021 —’ ^Що)-
(4.7)
Если же величина aV(i равняется целому числу тп при vx + + V2 + [її + [І-2 = 3, ТО ПОЛНОСТЬЮ функцию Я8 уничтожить нельзя, но ее можно привести к нормальной форме, отражающей резонансный характер задачи. И в новых переменных qf, р* функция Гамильтона запишется в виде
Н* = \(qf + pf) +-J-K (qf + pf) + Н% + О ((г, + га)»). jjl
Выражения для Я3 в случаях (1) — (4), определенных в (4.3), будут соответственно такими:
(1) Я* = 2*4,0(Я?' - 3qtpf) - 2^30(РҐ ~ 3Piqf),
(2) Яз =2м000з(5г2 3^2 Р* )---2170003 (р* ----------- 3/>2?* )>
(3) Я,* = - 2и%м [q? (pf - qf) + 2p*q*p*\ - (4.8)
— 2vwli [p! (pt —q*) — 2q1qiPt\,
(4) Яз* = - 2ii \qt (pf - qf) + 2 ptqtpti ~
- 2vtm [P* (pf - qf) - 2qtqtpt\.
В формулах (4.8) введены обозначения
jfg t Mviv,(iin«= #vtv«iiin« cos mt -f- 2/viv,n,n, sin mt,
= sin mt -f- 2/Vlvdi,(i, cos mt,
2Я
1
= і \ K,v^ C0S mt - "w,* Sin rnt) dt,
0
231
= 2Г 5 (uwwnf*. Sin mt + wv,w, cos dU
(4.9)
§ 4| РЕЗОНАНС ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 101
Для каждого из резонансов (1) — (4) имеет место следующее утверждение.
Теорема. Если я!Лгці(і, + yw,n, Ф 0, то положение равновесия неустойчиво.
Проведем доказательство для случая (1). После канонического преобразования
qi * = yiEFj sin (ф,- + kjt — 0), rf = V20 COS (ф; + kjt — 0),
(4.10)
где
sin ЗО = ——?/ооз° ...., cos 30 = - -*0030 ,
* *0030 "Ь ^0030 ^ *0030 + ^0030
функция Гамильтона примет вид
Н* = _4V2 (хмзо + г/оозо) r1\/71 sin Зфх + О ((гх + г2)2). (4.11)
Для доказательства неустойчивости воспользуемся теоремой Четаева [95]. Функцию V возьмем в виде V = где
V1 = ri—rl, V2 = Гі Yry соэбф! (a > 2). (4.12)
За область F>0 примем область (^>0, —^ < фх < ~ j.
На границе этой области либо Vlt либо V2 равны нулю, а внутри области выполняется равенство
г2 = Рг?12 (0<р<1). (4.13)
Параметр а подберем так, чтобы производная функции V в силу уравнений движения с гамильтонианом (4.11) была определенноположительной в области V 0.
Легко проверить, что при 2 < a < 3 производная может быть представлена в виде
% = 6 ^2КоЗС+ »003в) Т* ^[2a C0S ЗСР! + fl] C0S 6CP! +
+ 3(1 — P2) [cos Зфх + sin Зфхэтбфх + /2]}, (4.14)
где функции /х и /2 сколь угодно малы при гх, стремящемся к нулю. В области V 0, как нетрудно проверить, выполняются неравенства
COS Зфх > —, COS Зфх + Sin Зфі Sin бфх > 1.
Поэтому из (4.13) и (4.14) следует, что в области V 0 в достаточной близости к началу координат функция dV/dt будет определенно-
102
МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
положительной и, согласно теореме Четаева, положение равновесия неустойчиво.
В случае (3) после преобразования (4.10), где теперь
яігі ЗА = Уоом _ т спя 30 = —-—10012
І/ Х1 і „2 І/j» 1„2
' 0012 “ »0012 ' 0012 “ ‘ 0012
получим
н* = — 4 V2 (г*,1а + 2/ц012) r2 VГі sin (фі+ 2ф2) + О ((rj+ r2)2). (4.15)
Неустойчивость положения равновесия доказывается при помощи функции Четаева F = F^, где
Ух = — {г2 — 2rj)2, Fa = г2 Vri cos 2 (фх + 2ф2)
(2 < а < 3). (4.16)
Доказательства неустойчивости в случаях (2) и (4) аналогичны доказательствам в случаях (1) и (3) соответственно.
§ 5. Об устойчивости неавтономной системы
с двумя степенями свободы
при резонансе четвертого порядка
Рассмотрим теперь задачу об устойчивости в случаях (5) — (9). Здесь упрощенная при помощи преобразований, аналогичных преобразованиям предыдущего параграфа, функция Гамильтона в полярных координатах имеет следующий вид:
Н = с20гі + спгхгг + с02г2 — В (rh ф{) + Н' (т-j, фг, t). (5.1)
В (5.1) Н' = О ((гх + г2)5/2), а функция й для случаев (5) — (9) будет соответственно такой:
(5) й =У *0040 + ^0040Sin 4(Рь (6) В = УЩ004 +^004 8ІП 4<Р2’
(?) ^ =УхІш+УІшзіп2^+^ (8)Я = ^їзоо+г/їзоозіп((Рі+3(Р2)> _______________________ (5-2)
(9) й = Vx^+y^„о sin (Зф! + фя).
При приведении гамильтониана к виду (5.1) считаем, что +4,»#°, а в формулах преобразования (4.10)
Sin 40 = - ¦ .
У .2 ч 2
' viViUiU. ~
ViVsHiHs 1
cos 40 = —
УУ|У»Ц»Ц»
РЕЗОНАНС ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
103
Выражения для коэффициентов с^ таковы:
2 П
С20 — ^ (^2020 4" ЗЛ-0040 4" 3/l4000) dt,
0
2JI
С1Х — 2^" ^ (^2200 4" ^0220 4" ^2002 4" ^Сш) ^у (5*3)
0
2Л
С02 = ^ (^0202 4~ ЗЛ0004 4" ЗЛ0400)
0
Величины XvAWtH, и yviVrfiiH.1 входящие в (5.2), вычисляются по формулам (4.9), в которых надо положить
