Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
функции <р(х), описывающей распределение амплитуды
у = ср (х) cos \/l t
имеет вид
г
<p(x) = *jG(x,SM5)<P($K, (15)
т. е. такой же вид, как для продольных колебаний. Отличие между 32*
500
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
обеими задачами заключено в функции Грина G(x, ?). Для поперечных
колебаний стержня
G(x, 0 =
( х(% - 1) (х2 - 211) ^ "
---------щ------------ при *<С,
1(х - 1) (^Ч-Х2~21х)
61р
при х Е.
Мы видим, какой большой охват имеет интегральное уравнение вида (15).
Перейдем к двухмерным задачам. Дифференциальное уравнение колебаний
мембраны имеет вид
Если подставить в него
Z - <р (х, у) COS V 1 t, то мы получим для <р уравнение
д
дх
Здесь и для амплитуды <р получается уравнение в частных производных.
Математическая задача имеет совсем другой вид, чем для одномерной
системы.
Интегральное уравнение задачи имеет вид
?
(х, у) - "к Л G (х, у, Г)) <р (?, п) dldn ¦
Интеграл здесь-двойной; функция Грина есть функция четырех переменных; но
главные свойства интегральных уравнений не зависят от того, является ли
интеграл простым, двойным, тройным и т. д. При любой кратности интеграла
сохраняются одна и та же методика, одни и те же теоремы.
В случае мембраны разнообразие краевых условий гораздо больше, чем в
случае одномерной системы, -так как край мембраны может иметь
произвольную форму и различного рода закрепление.
Мы видим, что физически близкие вопросы приводят к интегральным
уравнениям аналогичного типа.
Третье преимущество интегральных уравнений заключается в том, что с их
помощью ряд общих теорем (например, о разложимости по собственным
функциям) доказывается проще и эле-
ШЕСТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
501
ментарнее, чем с помощью дифференциальных уравнений. Но как бы ни были
хороши интегральные уравнения для решения общих вопросов, они мало
пригодны для конкретных вычислений. Так обстоит дело в настоящее время, и
вряд ли это положение изменится.
Существуют способы вычисления собственных значений и собственных функций
путем последовательных приближений, причем за исходное приближение - и в
этом вся соль-можно взять произвольную функцию. После третьего шага (вся
работа занимает довольно короткое время) получается собственное значение
с точностью порядка 1/1000. Я не могу сказать, насколько это не случайно.
К интегральным уравнениям приводит и ряд задач, относящихся к теории
потенциала. Здесь имеются четыре основные задачи: внутренняя и внешняя
задача Дирихле, внутренняя и внешняя задача Неймана. Возьмем в качестве
примера внутреннюю задачу Дирихле.
В тех точках, где нет масс, потенциал <р удовлетворяет уравнению Лапласа:
. д'2Ф д2о д2Ф л
= (16)
Пусть внутри замкнутой поверхности S нет масс. Можно показать, что в этом
случае распределение потенциала на поверхности S однозначно определяет
потенциал во всех точках, находящихся внутри этой поверхности.
Доказательство однозначности строится так. Разность двух функций,
принимающих в каждой точке поверхности S одни и те же заданные значения,
равна нулю на этой поверхности; если функция равна нулю на поверхности S
и внутри поверхности удовлетворяет уравнению (16), то она равна нулю
всюду внутри S. Последнее следует из того, что линии потенциального
вектора grad <р не могут быть замкнутыми, поэтому если нет источников (т.
е. масс), то не может быть и поля.
Сформулируем теперь задачу Дирихле.
Пусть задано произвольное распределение потенциала <р на поверхности S.
Существует ли непрерывная функция <р, удовлетворяющая внутри S уравнению
Лапласа и принимающая на поверхности S заданные значения? Если такая
функция существует, то согласно тому, что было уже сказано, эта
502
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
функция - единственная. Такова внутренняя задача Дирихле. [Внешняя задача
получается, если мы зададимся функцией <р на поверхности S и будем искать
функцию, удовлетворяющую уравнению (15) вне S и достаточно быстро
стремящуюся к нулю в бесконечности].
Напишем формулу
=| up' 17 (!)dS>
(17)
где Р-точка внутри S; Р'--точка, принадлежащая S (рис. 187); и -
некоторая вспомогательная функция. Формула (17) есть
выражение для потенциала двойного слоя. Определяемая ею функция <рР
обладает замечательным свойством. Всюду внутри S она удовлетворяет
уравнению Лапласа, а при подходе к самой поверхности стремится к
некоторому пределу <р,-.
Если же мы сначала возьмем точку Р на самой поверхности, то значение ор
на поверхности связано с <р(. равенством:
?,= ?, -2тс иР.
(При переходе изнутри наружу 2~ нужно заменить на 4ти.) Если
"Р <=/(/>),
то всюду на поверхности
(18)
uT'l^ (т) ds - 2(tm)p=f(P).
Здесь иР-неизвестная функция. Если удастся подобрать функцию и,
удовлетворяющую уравнению (18), то она будет удовлетворять всем
поставленным условиям: она будет решением нашей задачи.
Уравнение (18) есть неоднородное интегральное уравнение. Обычно перед
интегралом мы пишем параметр X. Вопрос сводится к тому, имеет ли
интегральное уравнение
If* д / 1\
ШЕСТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
