Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
503
решение при Х = 1/27г и произвольной f(P). Если да, то наша задача имеет
решение.
Ядро нашего интегрального уравнения несимметрично.
Из теории интегральных уравнений известна следующая альтернатива. Если
для данного значения параметра X однородное уравнение, получающееся из
(19) при f{P) = 0, не имеет (нетривиального) решения, то неоднородное
уравнение (19) заведомо имеет решение. (В случае колебательных задач это
означало, что если частота внешней силы не совпадает с собственной, то
нет резонанса.)
Но мы знаем, что если потенциал на поверхности S равен нулю, то внутри S
он тоже равен нулю. Это значит, что если
f(P) = о,
то уравнение (19) имеет только тривиальное решение. Но отсюда следует,
что неоднородное уравнение имеет решение при любом X. Следовательно,
задача Дирихле всегда имеет решение.
Таким образом, та же теорема, которая говорит о том, что в системе без
трения при резонансе нет установившегося колебания, привела нас к решению
задачи Дирихле. На этом примере видно, как ценен математический аппарат
интегральных уравнений, хотя для чисто вычислительных целей он вряд ли
может служить рабочим аппаратом.
СОДЕРЖАНИЕ
От редактора .......................................................
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ (1930-1932 гг.)
Часть первая.
Колебания сосредоточенных систем
Первая лекция. Для теории колебаний характерно рассмотрение не состояния
в данный момент, а процесса в целом. Общие закономерности теории
колебаний. Теория колебаний и волновая механика. Содружество математики,
физики и техники в теории колебаний . . Вторая лекция. Периодическая
функция. Синусоидальная функция. Амплитуда, частота, циклическая частота,
фаза. Диапазон частот, встречающихся в природе. Среднее, среднее
квадратичное, эффективное значение. Сложение синусоидальных колебаний".
Суперпозиция; неудачность термина "интерференция44; неаддитивность
энергий. Сложение колебаний со случайными фазами; необходимость
статистического постулата; аддитивность энергий в среднем; когерентные
и некогерентные колебания ......................................
Третья лекция. Задача об апроксимации функций тригонометрическими
полиномами. Теорема Фурье. Исторические замечания о понятии функции.
Класс функций, разложимых в ряд Фурье. Метод комплексных величин; когда
можно и когда нельзя его применять . Четвертая лекция. Ряды Фурье
(продолжение); явление Гиббса. Биения. Как мы узнаем направление на
источник звука. "Гармоническое колебание с медленно меняющейся амплитудой
и фазой44. Критерий медленности определяется конкретной физической
задачей. Кажущееся нарушение закона сохранения энергии при интерференции
...........................................................
Пятая лекция. Почти-иериодические функции. Сложение взаимно
перпендикулярных гармонических колебаний одинакового периода. Сложение
взаимно перпендикулярных колебаний, имеющих различные периоды.
Соизмеримость и несоизмеримость периодов. Радиоприем "посредством
биений44. Роль нелинейности. Детекторы. Выпрямление. Образование
разностного тона. Некоторые методы экспериментального исследования
колебаний ..........................
506
СОДЕРЖАНИЕ
Шестая лекция. Теория колебаний маятника, данная Галилеем. Теория
колебаний маятника, основанная на законе сохранения энергии. Роль
маятника в истории физики. Гармонические колебания механических систем, в
которых сила определяется упругими деформациями. Колебания в контуре,
обладающем емкостью и индуктивностью. Общие замечания о колебаниях около
устойчивого положения равновесия. Кажущееся однообразие электрических
колебательных
систем..............................................................
Седьмая лекция. Примеры механических колебательных систем. Вал с двумя
дисками и его электрическая модель. Осторожность, необходимая при
идеализациях. Пример Бореля. "Неестественные" начальные условия в случае
груза, висящего на пружине. Электрическая аналогия этого случая.
Качественное исследование движений нелинейной консервативной системы с
одной степенью свободы с помощью интеграла энергии: неограниченное
одностороннее движение, либрационное движение, лимитационное движение.
Применение
общей теории к гармоническому осциллатору и к маятнику..............
Восьмая лекция. Иллюстрации к качественной теории Вейер-штрасса.
Наглядное представление и математическая теория. Представление движения
на фазовой плоскости. Особые точки и замкнутые интегральные кривые
нелинейного дифференциального уравнения. Девятая лекция. Изображение
движения на фазовой плоскости (продолжение). Особые точки и замкнутые
кривые. Фазовая картина некоторых консервативных систем. Теорема вириала
и ее применение
к кинетической теории газов ........................................
Десятая лекция. Применения теоремы вириала (продолжение). Пример
Богуславского. Идеальный газ. Твердое тело. Статистический постулат
Больцмана. Вычисление средней энергии осциллатора. Классическая теория
