Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
510
СОДЕРЖАНИЕ
уравнений двухпроводной электрической линии. Критика этого вывода.
Правильная постановка задачи на основе теории Максвелла
..................................................... . .
Третья лекция. Рассмотрение двухпроводной линии на основе теории
Максвелла. Статические задачи. Динамические задачи. Волновое уравнение.
Условие применимости до-максвелловского рассмотрения. Постановка
математической задачи о колебаниях распределенной системы: граничные и
начальные условия....................
Четвертая лекция. Некоторые замечания о неоднородной электрической
задаче. Различные краевые условия. Доказательство единственности решения
и его связь с законом сохранения энергии. Способ Бернулли: разделение
переменных. Постановка краевой задачи. Понятие о собственных значениях и
собственных функциях . . Пятая лекция. Уравнение, сходное с уравнением
Шредингера. Периодические краевые условия. Собственные числа оператора.
Основные свойства собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля. Вопрос о
разложимости функции в ряд по собственным функциям
задачи Штурма-Лиувилля. Вопрос сходимости.....................
Шестая лекция. Задача об однородном стержне с закрепленными концами.
Частоты и формы колебаний. Свойства, типичные и нетипичные для общего
случая задачи Штурма-Лиувилля. Случай свободных концов. Случай, когда
один конец свободен, а другой - закреплен. Случай электрической линии,
нагруженной конденсатором. Случай электрической линии, нагруженной
катушкой самоиндукции
..........................................................
Седьмая лекция. Дополнительные замечания о граничных условиях.
Однопроводная электрическая система. Понятие о решении Абрагама. Метод
Даламбера. Начальные и граничные условия. Скорость фронта волны в
неоднородной системе........................
Восьмая лекция. Положительность собственных значений задачи Штурма-
Лиувилля. Каждому собственному значению соответствует одна собственная
функция. Экстремальное свойство основного собственного значения. Его
применение для приближенной оценки основной частоты. Свойства
ортогональности собственных функций н нх
физический смысл..............................................
Девятая лекция. Уравнение для отыскания собственных значений. Случай,
когда нет собственных значений. Случай, когда любое число является
собственным значением. Вычисление решений дифференциального уравнения в
виде ряда по степеням параметра. Теорема о существовании бесчисленного
множества собственных значений задачи Штурма-Лиувилля
(начало)..................................
Десятая лекция. Окончание доказательства основной теоремы о собственных
значениях задачи Штурма-Лиувилля. Число узлов собственных функций. Оценки
собственных значений. Изменение собственных значений при изменении
параметров. Массы и индуктивности на концах распределенной системы
.......................
342
356
368
379
390
401
411
421
432
СОДЕРЖАНИЕ
Одиннадцатая лекция. Роль интегральных уравнений для физики. Функция
Грина для струны или стержня; ее зависимость от граничных условий.
Функция Грина в теории потенциала. Свойство симметрии функции Грина.
Интегральное уравнение для динамической задачи о колебаниях струны или
стержня. Симметризация ядра
уравнения .....................................................
Двенадцатая лекция. Невозможность построить функцию Грина в случае
стержня со свободными концами. Предельный переход от задачи о колебаниях
дискретной цепочки к интегральному уравнению колебаний стержня.
Эквивалентность интегрального уравнения и дифференциальной схемы задачи
Штурма-Лиувилля. Пример физической задачи другого типа, приводящей к
интегральному уравнению: задача об идеальном оптическом изображении
...................
Тринадцатая лекция. Дополнительные замечания по теории интегральных
уравнений. Вопрос о возможности разложения произвольной функции,
удовлетворяющей краевым условиям, по собственным функциям краевой задачи
.......................................
Четырнадцатая лекция. Краткое резюме содержания предыдущей лекции. Вопрос
об апроксимации функции конечным числом членов ряда. Полнота системы
собственных функций. Вопрос об условиях разложимости и быстроте
сходимости ряда. Распределение амплитуд гармоник в зависимости от
начальных условий. Пример струны, возбуждаемой щипком и ударом.
Электрический аналог возбуждения ударом. Влияние ширины интервала
возбуждения при
ударе .........................................................
Пятнадцатая лекция. Замечания о собственных колебаниях. Вынужденные
колебания. Однородное и неоднородное интегральное уравнение,
альтернатива. Случай, когда внешняя сила ортогональна к собственному
колебанию. Альтернатива в случае дискретной системы. Нарастающие решения
при резонансе. Форма колебаний при очень малой частоте внешней силы.
Форма колебаний вблизи резонанса. Зависимость амплитуды вынужденного
колебания от
формы внешней силы.............................................
