Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
переменной частотой, электрон в переменном магнитном поле) описываются с
помощью функции e (t), подчиняющейся классическому уравнению колебаний с
переменной частотой. Если частота меняется медленно (со/со2<^ 1), это
уравнение можно решать с помощью метода последовательных приближений.
Если ввести параметр Т согласно формуле t = Tlx, то (см. подробный вывод
также в [151]) уравнение для е (т) примет вид
Т-*^ + аЦх)е = 0. (4.1)
Можно искать решения этого уравнения в виде
т
Б (Т) = w sin (г$ S (т') dx') . (4.2)
Здесь W и S - медленно меняющиеся неизвестные функции т. Тогда
Т t
в' (х) = W' sin [Т J S (т') dx') + TSW cos (Т $ S (т')<*т') (4.3)
т
е-Чт) r= (W" - T*S*W) sin (г $ S (т') dx') + (2TSW + TS'W) X
Т
X cos (т 5 S' (т') dx') . (4.4)
130
Уравнение (4.1) приводит к соотношенйяМ
W"/T2 - WS2 + со2 (т) W = 0; 2W'S + WS' = 0. (4.5)
Отсюда видно, что W2S = const, например, S = 1/W2.
Можно представить функции W и S в виде асимптотических рядов по параметру
1 /Т:
S = S0 + SJT + S2/T2 + ...;
W = Wo + WJT + WJT2 + ...
Подставляя эти ряды в (4.5) и приравнивая члены одного порядка по ИТ,
имеем
So = со; Wo = 1/ (4-7)
Кроме того, имеют место соотношения
w;_2 - Wn-2 (S'% - Wn-4 (S-h -...-Wo (S2)n - 0; (4.8)
(W2)"S0 + (W VaS2 + .. • 4- (W2)0 Sn - 0. (4.9)
Здесь введены обозначения
(S2)m = SmSo + Sm-2S2 + ... + SoSm', "
(W2)m = WmWo + Wm-2W2 + ... + W0Wm.
Нечетные члены S2^+1, Wm+i равны нулю. Величины Wn и5" зависят от частоты
со и ее первых производных. Решение уравнения для функции е эквивалентно
нахождению решения уравнения
т
для р, где е = р(т) ехр (if S (x')dv'j ; S = t! p2. Льюис [89] нашел
функции p" (W") до шестого порядка. Приведем их с точностью до четвертого
порядка:
ро = {V со)-1; р2 -= -g- (0-7''2<в<2) - (0-'/г (а^)2!
р4= - ^.(0-и/.л'*) +^-со-'3/2?0(з)ш(1) _^1С0-1"/га(-2)((0(1))2 +
+ ¦S'co_'V2(°(2)2 + Ш с°",/2?°(,)4; <*{п) аП(й
1 '<¦ dx
Для заряженной частицы с гамильтонианом Ж=(2М) 1 [(рж- -еАх)2 + (ру -
еАу)2] + е<р, А = [Н (t) х гУ2, ф = X (t) (х2 + + у2), точные линейные
инварианты, как было показано в [72], имеют вид
t
Ai (t) = -y=r exp (-^со(т)dr'j [e(px + ipy) - iMi(y - ix)];
t
= ТУТexp dt) ls(-Pv +ip*) ~ iMe(x - Ш>
5* 131
1-де ё + Й2е = 0, Q2 = со2/4 + (e2/Af2)X (t). Эти точные инварй-анты
можно представить в виде асимптотического ряда
(4.11)
А{ 00 - Ai ) (т) 4" Тр- (т) 4" • • •
Сумма первых п членов дает адиабатический инвариант п-го порядка
1 п 1 d4n] ¦¦¦+^гАТи, -^- = 0,
А\
Г"]
А
(о)
1
A(V А-
dt
1 ( тп )
(4.12)
Мы выразили точный инвариант через решение е (t). Чтобы получить ряд
(4.11), нужно подставить в точное выражение асимптотический ряд для
функции е (t). Нулевое приближение для
е0(г) = (МО/е)1'2ехр (г ^ О dt^j с
ее
функции е (t) имеет вид помощью можно получить два линейных по операторам
координат и импульсов адиабатических инварианта нулевого порядка для
частицы, движущейся в переменном электромагнитном поле:
I
Al( т) = -^у=ехр if ^ со (т') + О (т')
Л°( т)
2 Ye
dx'
X
X
Vq
=- (Рх 4- ip у) 4- м/о (у - ix)
(4.13)
•ехр со (тг) + О (T^JdT'J
X
X
• {Ру + iPx) + М /О (х - iy)
Пусть электромагнитное поле постоянно при t 0 и при t -"- оо. Это
означает, что в уравнении для функции е имеют место соотношения Q (t 0) =
Qin, Q (t ->- ос) = Qf, где Qin и Of - постоянные частоты. Точные
начальные условия задаются формулами е (t) = О-1/2 ехр (iOini) и е = Ше.
Таким образом, можно получить формулы для амплитуд и вероятностей
переходов из начального | in) состояния в конечное | f), а также
вычислить изменение адиабатических инвариантов. Точные формулы для
амплитуд переходов и изменения адиабатических инвариантов получены в
работе [76].
Найдем эти величины в адиабатическом приближении, т. е. определим
асимптотические разложения точных формул по параметру 1 IT. Из формул
(4.6) вытекает, что
е (оо) - Ео + еп+2/Тп+2 +
(4.14)
где п - число непрерывных производных функций Q (t) (разложение
асимптотическое), т. е. число непрерывных производных
132
(4-15)
элСкТрокагИИТноГо потенциала. Значение еп+2 определяется изменением (п +
1)-й производной функции Q (t). Подставляя формулу (4.14) в формулу для
точных интегралов движения, получаем
Л1 (оо) = А1>0 + А1<п+1/Тп+и
Аг (оо) = ^4а,о + А2гп-ц/Т
где Л1,о и А2,о являются адиабатическими инвариантами при t -> оо.
Формулы (4.15) показывают, что изменение адиабатических инвариантов i4li0
и А2,о пропорционально 1 /Тп+1. Это означает, что адиабатические
инварианты сохраняются с точностью до членов порядка 1 /7'п+1. Этот
результат получается, если построить асимптотическое разложение точной
формулы для изменения адиабатических инвариантов Л1>0 и Л2>0 по параметру
ИТ. Все формулы для переходов выражаются через комплексные константы ? и
т} (| ? |2 - | т] |2 = 1). Точное решение уравнения для е (I) при t -> оо
имеет вид
8(00) = (MQt/e)-4' (?eiQf' - ipe"iQf').
Если разложить ? и ц по параметру ЦТ, то из разложения для е (4.14)
следует
