Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
I = !о + ц = лп+i/тп+1. (4.16)
t
Здесь |о = ехр dx'^j . Значение играет роль
амплитуды отражения от одномерного барьера, определяемой функцией Q (t).
Таким образом, коэффициент отражения есть величина порядка 1/T2(>l+D.
Если подставить в точную формулу изменения адиабатических инвариантов
асимптотическое разложение (4.16), то мы получим, что линейные инварианты
сохраняются с точностью до 1/T'l+1. Получим изменение адиабатических
инвариантов по когерентным состояниям. Разность значений операторов
определяется следующим образом:
ДА, - <'~ "1-^1<1п1-4*1 "" _ ,4Л7)
<in | Aj11 in>
где | t -> оо)> есть предел при t -> оо начального состояния | in)>.
Значения АА% легко вычисляются, если использовать связь точных
инвариантов с конечными. В результате в случае когерентных состояний | а,
имеем следующие изменения адиабатических инвариантов i4i,0, А2>0:
АЛ,о = - 1 + (i* - ~-) ехр T~)dx
(4.18)
133
В адиабатическом пределе t\ стремится к нулю; разности AHi,0 и ДИ2>0
также стремятся к нулю. Если в эти формулы подставить разложение (4.16),
найдем
Получим теперь изменения квадратичных адиабатических инвариантов A^Ai и
A\At, соответствующих точным квадратичным инвариантам. Их эволюция может
быть легко рассчитана так же, как и для линейного случая. Для когерентных
состояний имеем
Для случая уровней Ландау с заданными значениями энергии и проекции
момента имеем
В адиабатическом пределе (ц = 0) все эти изменения равны пулю для любых
начальных состояний. Интересно рассмотреть квантовый оператор,
соответствующий классическому адиабатическому инварианту р\!Н или Е!со:
Вследствие (4.16) сохранение величины /0 выполняется с точностью порядка
1/Г2(п+1>:
Если частота О имеет производные всех порядков, то все адиабатические
инварианты, линейные и квадратичные, сохраняются во всех порядках по
параметру ИТ. Это не означает точной инвариантности. Хороший пример,
который часто приводится,- функция ехр ( - 1/Я), для которой все
производные при к = 0 равны нулю. Здесь следует подчеркнуть, что
сохранение адиабатических инвариантов во всех порядках по 1 IT получено
для системы с бесконечнократным вырождением уровней энергии, поскольку
уровни Ландау вырождены по проекции момента на магнитное поле. Когда поля
постоянны, гамильтониан заряда в магнитном поле выражается через
операторы Аг, А^ по формуле
ДЛг,0 = О (1 /Гп+1), г = 1, 2.
(4.19)
(4.20)
I о - А^0А1>0 + 1/2.
(4.22)
Изменение этого инварианта легко вычисляется:
(4.23)
А/0 = О (1 /Г2<п+1>).
(4.24)
Ж =(А(А1 + 72).
134
Рассмотрим теперь разложение амплитуд перехода по параметру ПТ. Точная
формула получена нами ранее и обсуждалась в [72, 76]. Все амплитуды суть
функции двух комплексных параметров 1 и т), а вероятность перехода
зависит от одного действительного параметра R | г]/| | 2, который можно
трактовать как коэффициент отражения от потенциального барьера,
задаваемого функцией Q (t). Сначала найдем разложение точных амплитуд по
параметру | т)/? |:
(у, б; f I а, Р; О = 23 Вт (а, р, у*, б*) I r)/g |
(4.25)
где
И
Вт " т\
a " ОГ
(у, 6;f | а, р; in)
la/ii
О,
(mi, т2; f | nt, n2, t) = 23 Am (m, m2, пь n2) | цЦ \m,
m -о
где
Am = ("i! "2! rrii! m2!)-'X
(4.26)
^ni+n2+mi+?n2
X
x exp (-1-1 a I3 -f |p|2 + |y|24-|6 |2) 5m]a=p=y=(
0.
Для вероятности перехода | (mi, т2; f | П\, п2; ty \ 2 разложение по
параметру Л = | т)/1 |2 дано в [72]. Первый член разложения вероятности
остаться в том же состоянии | ni, п2У имеет вид
| (пъ п2; f | ni, щ; t} |2 = 1 - (2raira2 + nt + га2) 7? + ...
(4.27)
Можно получить асимптотические разложения по параметру ИТ, подставляя
формулы (4.16) Для функций | и т) в формулы для амплитуд переходов (4.25)
и (4.26). Видно, что | т|/? | ~ 1/Гп+1 и коэффициент R ~ 1/Г2(п+:1).
Формула (4.27) показывает, что вероятность перехода j <in | f> | 2 есть
величина порядка 1/Г2(п+1>. Это означает, что адиабатическая
инвариантность выполняется с такой точностью. Если электромагнитное поле
задается функцией, которая имеет производные по времени всех порядков, то
адиабатическая инвариантность сохраняется для заряженной частицы,
движущейся в этом поле, во всех порядках по параметру адиаба-тичности ИТ.
Обсудим теперь случай общей квадратичной системы и физический смысл
введенных линейных адиабатических инвариантов. В случае общей
квадратичной системы были построены 2п точных линейных интегралов
движения, удовлетворяющих соотношениям коммутации бозонных операторов
рождения и уничтожения (см. формулу (4.2) гл. III). Решения волнового
уравнения, амплитуды переходов и функпия Грина были выражены через
зависящие от времени матричные элементы матрицы A (t) и вектор 8 (t) (см.
135
(4.3) гл. III). Матрица Л удовлетворяет матричному уравнению первого
порядка Л = iAcr2 (В -f- В*), где матрица В -f- В* зависит от времени.
Если зависимость от времени матрицы В -f- В* мала, то можно решать это
уравнение методом итераций. Подставляя приближенные решения в точные
