Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 57

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 123 >> Следующая

Рассмотрим случай, когда матрица монодромии Л (Т) системы с
гамильтонианом (2.1) является элементом максимальной карта-новской
компактной подгруппы Л (N, 0) = ехр где
h(N'°) дается (2.11). Вычисляя экспоненту от матрицы находим явное
выражение для матрицы монодромии:
Собственные значения матрицы Л (Т) лежат на единичной окружности %j- = е
i, X* = e~lhi, / = 1,2, . . . , N, причем вещественные числа hj
определены по модулю 2л.
Построим из интегралов движения (3.12) операторы уничтожения и рождения
удовлетворяющие бозонным одновременным коммутационным соотношениям
можно выразить через операторы р и q*):
*) В соответствии с соглашением (см. выше) в дальнейшем опускаем знак
"штрцх".
cos h±
0 sin hx
о
cos h2
sin й2
cos hN 0
0 cos /ц
sin h
N
о
- sin h2
cos h2
0
- sin hN 0
cos hN
(4.1)
Aj (t) - -yr (*) A -^iv+j(0]'
(4.2)
[A], Ak] = lAj, AU = 0; [Aj, A& = 6JK, (4.3)
причем
Aj (0) = iP3 + Я3У A] (0) = a] = -щ (- ip.
+ q).
В силу (2.4) операторы Aj, А] - интегралы движения -
А = Q^pP + ^gQ + А), + i^il
A = -^(X*p -j- Xqq -j- A*), Xq = X± -j- ^2> У z
а также через операторы a, a - начальные точки:
(4.4)
л х j
А
1 I 2
Xq - ilp lg + ilP К-К K + il*P
:<)+&&>¦
Подставляя (4.4) в коммутационные соотношения (4.3), находим полезные
тождества, эквивалентные условиям симплектичности матрицы A (t) (см.
(5.33) гл. III):
-г -f ~ ~
XpXq - Xqkp = 2iE] XpXq = XqXp. (4.5)
Используя (2.14), (4.2) и (4.1), можно показать, что операторы А (t)
(4.4) удовлетворяют соотношениям
A; (t + Т) = eihiA} (ty, Aj (Т) = eihia3. (4.6)
С помощью интегралов движения А построим, как обычно, норми-
рованные когерентные состояния | a, ty, удовлетворяющие условию
А3 (t) | а, ty = а,- | а, О (4.7a)
и уравнению Шредингера
i-gj-K О = 3?{t)\a, ty. (4.76)
Комплексное число а задает координаты центра волнового пакета,
движущегося по классической траектории в фазовом пространстве, проходящей
в начальный момент через точку с координатами q(°) = (a -j- а*)/У 2, р<-
°> - (а - a*)/i]A2. Приведем явное выражение для когерентного состояния,
отвечающего операторам А в координатах q, в несколько упрощенной по
сравнению с [76] форме, следуя [104] (см. (4.56) гл. III):
|a, ty - 10, ty ехр j^-^-cdp^a -f- -р=- а (А* - ХрХр^А +
+ 2iXp'q) - 1 а |2J , (4.8)
где "вакуум"
10, ty = n~NA ехр (- y qX~?Xqq- iqXp1 А + ф) , (4.9)
а фаза
t
Ф (t) = [Sp Q^Xqh-! - bs) + ic^p'-A - iAXp'-bxXp'-A - iHu (t)] dt.
0 (4.10)
147
Следует показать, что матрицы, входящие в квадратичные формы,
встречающиеся в (4.8), существуют и являются симметрическими. Из условий
симплектичности (см. (5.33) гл. III) следует, что
= (^з - iki) (^з 4" i^i) = 4" ^i^i- (4.11)
у
Следовательно, матрица кркр является вещественной и симметри-
у
ческой. Покажем, что матрица кркр является положительно определенной.
Предположим противоположное, т. е. пусть сущест-
у
вует вещественный вектор / Ф О такой, что (/, kpkpf) = 0. Ясно, что тогда
кр /=(*¦ з + i^i) / = 0. Из вещественности kt ж f следует kxf - k3f - 0.
Применяя операторы левой и правой частей тождества ktkx - Л.2Л.3 = Е (см.
(5.33) гл. III) к вектору /, находим, что / = 0. Полученное противоречие
доказывает положительную
у
определенность матрицы кркр. Используя это свойство матрицы, докажем
существование матрицы ^р1. Если матрица Tip1 не существует (т. е. det кр
= 0), следовательно, существует ненулевой, вообще говоря, комплексный
вектор / = /1 + if2 (векторы /4 и /2 - вещественные и f \ + f \ 4> 0)
такой, что kpf - 0. Ясно, что
У у '
тогда справедливо равенство kpkpf = кркр (/4+ if2) = 0. Так как
матрица кркр вещественная и положительно определенная, то /4 = / 2 = 0-
Полученное противоречие доказывает, что матрица Tip1 существует. Покажем
теперь, что матрица входящая в
квадратичную форму (4.8), симметрическая. Из (4.11) следует, что к^кр =
крк*; отсюда легко получаем требуемое: = (kJ^f1kр =
= ^р^р1. Аналогично, для матрицы кргкд, входящей в квадратичную форму
qk^k^q, находим, используя (4.5), что k~pkq =
- ^q^p •
Волновые функции когерентных состояний | а, и "вакуума" ( 0,.О содержат
множитель, быстро убывающий при больших значениях \q\. Чтобы показать
это, рассмотрим более подробно квадратичную форму, входящую в показатель
экспоненты (4.8). Преобразуем эту форму к виду
- iqkp\q =\q (к~% + (к*)'1 к*) q~{q (кр\ - (^р)"1 к%) q,
где, очевидно, первая квадратичная форма - чисто мнимая, а вторая -
вещественная и отрицательно определенная. Используя (4.5), получаем
~~ ТЯ (V \ (V) 1 -Ч) Я 1=5 ^ Я^р (Ч) 1Я
-.148
Из последнего неравенства следует, что волновые функции (4.8)
экспоненциально убывают с ростом j q |. В силу этого когерентные
состояния можно нормировать: <а, 11 а, t~) = 1.
Рассмотрим фоковские состояния | п, О системы, введенные в [76],
удовлетворяющие уравнению Шредингера и являющиеся
у
собственными для квадратичных операторов N j = А^Ау
Nj | п, О = rij | п, ty. (4.12)
В силу своего построения (см. § 4 гл. III) когерентные состояния
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed