Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Наиболее популярной является довольно грубая двухуровневая модель, в
рамках которой рассматриваются только два уровня стационарной системы Е2
и Еи помещенной в резонансное внешнее поле с частотой й = (Е2 - EJ/fr.
Обзор результатов, полученных в рамках этой модели, и сравнение их с
экспериментом приведены в работе [178].
Характер спектра излучения, возникающего при переходах между КЭС, был
впервые исследован Блохинцевым [171] при рассмотрении эффекта Штарка для
атома водорода в переменном поле. В дальнейшем спектры излучения систем с
конечным числом уровней, помещенных в периодическое внешнее поле, были
подробно исследованы теоретически и экспериментально [172-175].
Применению метода квазиэнергий при рассмотрении процессов рассеяния и
излучения квантовой системой, находящейся в сильном электромагнитном
поле, посвящен обзор Зельдовича [176]. Метод квазиэнергий оказывается
полезным при описании процессов многофотонной ионийации атомов
периодическим внешним полем (см. обзоры [177-179]). Рассмотрению
молекулярных систем методом квазиэнергий посвящены работы [180-182]. В
ра-
138
боте [182] в квазиклассическом приближении находится спектр КЭ
ангармонического осциллятора и исследуется явление нелинейного резонанса.
Спектр квазиэнергий найден точно для небольшого числа систем, таких, как,
например, некоторые системы с конечным числом уровней [183, 184],
осциллятор с периодически изменяющейся частотой [185, 186],
релятивистский электрон в поле плоской волны [158], релятивистский
электрон в суперпозиции полей плоской волны и постоянного магнитного поля
[187]. В работе Бабича и Булдырева [188] при рассмотрении задачи
дифракции фактически были найдены дискретный спектр КЭ и КЭС квадратичной
системы с N степенями свободы и гамильтонианом специального вида. Спектр
КЭ и КЭС для заряда, движущегося в поле волноводного типа, были найдены в
работах [189, 190]. Многие из этих точно решаемых задач могут быть
сведены к квантовомеханическим задачам о поведении многомерной системы с
периодичным по времени и квадратичным по координатам и импульсам
гамильтонианом, спектр КЭ и КЭС которой построены в [191].
Как указывалось в [176], КЭС являются собственными функциями оператора
монодромии U (Т). В работе [167] было установлено, что временная эволюция
собственных функций Ч*^ (0) оператора монодромии
U (Г) (0) = е-^г/лгрЕ (0) (1 6)
порождает КЭС, т. е.
We(t)= U(t)WB(0). (1.7)
Доказательство этого утверждения сводится к проверке выполнения условий
(1.1) и (1.5) для (t), определенной согласно (1.7).
Условие (1.1) выполнено для волновой функции Т), (t) (1.7) в силу
(1.2), а выполнение (1.5) следует из (1.3) и (1.6):
'Бе (f + Т) = и (t + Т) ТЕ (0) = U(t)U (Т) ?в (0) = e-WK'?E (t). (1.8)
В полном соответствии со случаем пространственных сдвигов находим
и (пТ) Т, (f) = в-йпТУА^в (t), (1.9)
т. е. КЭС являются аналогами блоховских волновых функций. Таким образом,
КЭС преобразуются по одномерному унитарному представлению дискретной
группы временных сдвигов, характер %е (п) которой задается величиной
%е (п) = ехР (-ienT/h).
Отметим, что КЭС существуют только в том случае, когда временная функция
Грина U (t) является унитарным оператором при всех t и удовлетворяет
соотношению (1.3).
139
§ 2. Интегралы движения системы с периодическим квадратичным
гамильтонианом
В предыдущих главах были построены интегралы движения, функция Грина,
когерентные и фоковские состояния нестационарной квантовой системы,
гамильтониан которой представляет собой неоднородную квадратичную форму
общего вида с коэффициентами - произвольными функциями времени. Важным
случаем такой системы является квадратичная по операторам координат и
импульсов система с коэффициентами - периодическими функциями времени с
периодом Г. Гамильтониан системы M{t) удовлетворяет условию X{t Л- Т) = Ж
(t). У таких нестационарных систем, в силу инвариантности относительно
сдвигов по времени на период Т, существует спектр квазиэнергий (КЭ) и
отвечающая этому спектру система квазиэнергетических состояний (КЭС). В
явном виде КЭС и спектры КЭ найдены для небольшого числа простых
квантовых систем, таких, как, например, заряженная частица в поле плоской
волны [158], осциллятор с переменной частотой [185], заряженная частица в
суперпозиции постоянного магнитного поля и плоской волны [187], системы с
конечным числом уровней [183] (см. также обзор [176]). Дискретный спектр
КЭ однородной квадратичной системы частного вида в связи с задачами
дифракции был рассмотрен в [188]. В работах [189, 191] был проведен
теоретико-групповой анализ представления группы динамической симметрии,
на основе которой построены КЭС и спектр КЭ произвольной периодической
квадратичной системы. Рассмотрим, следуя [191], систему с N степенями
свободы, гамильтониан которой, используя обозначения (4.1) гл. III,
запишем в виде {% - 1)
где Qi = pi - импульсы, Qn+i = qt - координаты, i = 1,2, ..., N.
Положим теперь, что вещественная симметрическая матрица В (t),
