Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 56

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 123 >> Следующая

Каноническому преобразованию (3.1) отвечает порождающий его
у
унитарный оператор Uh UtUl = E, такой, что
p = UtpuU q=Uiquj. (3.4)
Для нахождения ядра <§ | Ut | q} преобразования Uг полезно рассмотреть
соответствующее ему классическое каноническое преобразование. Будем
теперь считать входящие в (3.1) координаты и импульсы не операторами, а
с-числами. Перестановочные соотношения (3.2) перейдут в условия
каноничности классического преобразования (3.1) путем замены в (3.2)
коммута-
N \
торов lf,g] на скобки Пуассона {/, g)p = ^ щ щ)
1 1 г
по обычному правилу: [/, g] -> - i {/, g}P.
Классическому каноническому преобразованию (3.1) отвечает в переменных q,
q производящая функция F (q, q), позволяющая находить импульсы р и р:
р = dFldq, р = - dFldq. (3.5)
Условия каноничности преобразований (3.1) и (3.4) можно записать в виде
р dq = р dq -f- dF. (3.6)
Для существования F в переменных q, q достаточно, чтобы гессиан Hess F =
det || diFldq dq || был отличен от нуля. Пусть det 13 Ф О,
тогда (3.1) можно разрешить относительно р и р; с учетом (3.3)
находим
р = кЦ1д - /'з1? + р = Ц'д - 13%д - is1 <h. (3.7)
Подставляя (3.7) в (3.6), получаем для производящей функции F (д> д)
уравнение в полных дифференциалах, причем условия совместности уравнения
(3.6) выполнены ввиду тождеств (3.3). Интегрируя уравнение (3.6), находим
F(д, д) = ЧгдкЦ'д + ЧъдЧ'кд- дЦ>1д Л-д17&гЛ-д&\ - д1\17&г-
(3.8)
Отметим, что Hess F = det || d2Fldq dq || = det Ф 0.
Для нахождения явного вида ядра <§ j Ut | q} квантового преобразования
(3.1) следует использовать систему уравнений (3.4), которая в
представлении, где q диагональны, принимает с учетом
(3.3) и (3.7) вид
- i^-(<i\Ui\q> = (Is'g - hhQ - ls'dd^lUtlqy,
- ~ - (3-9) = (к 1згя - 1згя - Уз1 + dj <д|нг|д>.
Ясно, что при подстановке (q | | q~) = с ехр {- iF (q, q)}
система (3.9) переходит, с учетом (3.7), в систему (3.5). Условие
унитарности ядра (q | ?7г | q~) позволяет определить нормировочную
константу с, квадрат которой равен якобиану перехода от координат (р, q)
к {q, q), деленному на плотность состояний (2tt)N в фазовом пространстве.
Таким образом, получаем
<Q\ Ut \д > - expl-iF(q,q)], (3.10)
где F {q, q) дается (3.8), a Hess F = det l3x.
В вырожденном случае, когда det l3 = 0, необходимо рассмотреть,
аналогично вышеизложенному, ядро в импульсном представлении (см. § 5 гл.
III).
Отметим, чю Фок в работе [195] (см. также приложение в [196]) получил в
квазиклассическом приближении формулу (3.10) для
144
ядра оператора UF, отвечающего классическому каноническому преобразованию
(3.5) с производящей функцией F (q, q). В случае линейного канонического
преобразования (3.1) квазиклассическое приближение совпадает с точным
выражением для ядра Up.
Преобразования вида (3.10) образуют представление группы G = Sp (2N, R) Д
Н (N), являющейся полупрямым произведением симплектической группы Sp (2N,
R) и группы Гейзенберга - Вейля Н (N), генераторами алгебры Ли которой
являются операторы дг, pi и единичный оператор Е. Изучению этого
представления посвящены работы [109, 110, 197-200].
Для того чтобы привести матрицу монодромии Л (Т) к одной из стандартных
форм, описанных выше, совершим в уравнении Шредингера (2.3) унитарное
преобразование Ux вида Y = Uxф. Волновые функции ф удовлетворяют
уравнению Шредингера (2.3)
с преобразованным гамильтонианом Ж' - UiS^Ut. Очевидно, что спектры КЭ
гамильтонианов Ж' и Ж совпадают. Если в качестве Ux взять линейное
каноническое преобразование (3.1), то гамильтониан снова оказывается
квадратичным по р и q и имеет вид
Ж' = QB'Q + CQ + (3.1.1)
где В' = Ш; С' = Г (С + (В + B)d); Н'0 = dBd + Cd +
Н0.
Интегралы движения I (2.5), отвечающие гамильтониану Ж, перейдут в
интегралы движения I' гамильтониана Ж':
Г = uj TUX= A'Q + 6', (3.12)
где
Л' = 1~Ш; 6' = t1 (6 + Ad) (3.13)
удовлетворяют соответствующим соотношениям (2.5) - (2.8).
Выберем теперь параметры преобразования Ux вида (3.1) следующим образом.
Пусть матрица Л (Т) имеет вид
A(T) = l^exp{h(K'l)}ti.
Тогда, полагая /, входящее в (3.1), равным /д., находим, что Л' (Т) = ехр
{h^K'l'>} (см. (2.12)). Сдвиг d выбираем из условия 6' (0) = 6' (Т) = 0
равным <г = - Л-1 (Т) 6 (Т).
Новые интегралы движения I' (t) совпадают с интегралами движения
квадратичного гамильтониана Ж', рассмотренными ранее, и удовлетворяют,
кроме того, уравнению
I' (t + Т) = ехр {№0} Г (t). (3.14)
Таким образом, эволюция системы за период определяется элементом
картановской подалгебры вида (2.11), который
полностью определяет характер спектра КЭ системы. Можно теперь считать,
что гамильтониан системы, интегралы движения и матрица монодромии Л (Т) с
помощью подходящего линейного
145
канонического преобразования U уже приведены к стандартному виду (3.11),
(3.12) и (3.14). В этих формулах, для того чтобы не усложнять изложение
громоздкими обозначениями, будем в дальнейшем опускать тильду и штрих.
§ 4. Дискретный спектр квазиэнергиЗ и когерентные состояния
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed