Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
ионной проводимости. Дефекты занимают в кристалле положения равновесия.
Вакансии оуть отсутствующие ртомы решетки. Внедренные атомы расположены в
потенциальных ямах между узлами кристаллической решетки. При их
перемещении по кристаллу дефекты перескакивают из одного положения,
равновесия в соседнее. Ниже мы прежде всего рассмотрим вероятность
перехода для отдельного процесса. Отсюда следуют затем параметры,
определяющие диффузию и ионную проводимость.
В качестве модели рассматриваем кристалл с кубической структурой
положений равновесия дефектов внедрения. Последующие соображения равным
образом применимы и к вакансиям. Пусть кристалл простирается в
направлении х на длину L = Na (а - расстояние между двумя потенциальными
ямами в направлении,х). Ставим вопрос о числе дефектов внедрения,
проходящих за время t через плоскость х = х', расположенную между двумя
плоскостями .х" я Хх. Еслп в среднем в потенциальных ямах в каждой
плоскости имеется т, дефектов внедрения, то это число равно mtw, где w
есть вероятность отдельного перескока.
Функция Гамильтона для внедренного атома и окружающих его ионов решетки
имеет вид
здесь г, р и М - координата, импульс и масса внедренного атома. Q и Р
обозначают все координаты"и импульсы ионов решетки, Т - кинетическая
энергия ионов решетки, а Ф - зависящая от расположения всех частиц
потенциальная энергия.
В течение времени dt плоскость х = х' пересекут слева направо все те
внедренные атомы, которые имеют положительную составляющую скорости vx и
которые находятся в пределах расстояния dx = vx dt слева от х'. Число
таких атомов равно
где п - полное число дефектов внедрения (n = Nm). Посредством
интегрирования цо всем положительным значениям составляющей скорости их и
используя (2.74), получаем . . -
н = ш + т(р) + ф(Г' Q)-
(2.74)
п dx -
j" ехр (- II/kBT) dpy dpz dy dz dP dQ
(2.75)
| exp (- H/kBT) d%v dxT dP dQ
§ 19. ДИФФУЗИЯ И ИОПНАЙ ПРОВОДИМОСТЬ
99
С ехр (- Ф/Д ВГ) (ly dz dQ j exp (- рЦ2МкъТ) dp
= ndt --------------------
|"хР(-Ф".ЛЛрда ^xri_pT_Mv)^
- 00
Определим теперь среднюю потенциальную энергию V (х) посредством
равенства
ехр [- V-(x)/kBT] = ( ехр [- Ф (х . . .),'квТ\ dy dz dQ (2.77) и,
следовательно, получим для вероятности w
оо
.78)
TV JUXP [- v (x)!kBT\dx j охр (- рЦ2МквГ) dpx
- OO
Функция V(x) периодична с периодом, равным расстоянию между ямами а.
Интеграл по х в (2.78) является, следовательно, интегралом по отрезку от
х0 до хт, взятым N раз. Если высота потенциального барьера между х0 и
велика по сравнению с квТ, можно заменить V{х) в интеграле первыми двумя
членами разложения в ряд Тейлора: V{х) = V(x0) + {К/2) (х - х0)2.
Интегрирование тогда легко выполняется. Второе отношение в (2.78) есть
средняя скорость и, которая после вычисления интеграла приводится к виду
(квТ/2пМ)1/2. Собирая все вместе, получаем
w = (~AV!kвг)" ДЕ = F (хг) -У (х0). (2.79)
Это равенство можно упростить, заметив, что коэффициент перед экспонентой
является частотой колебании дефекта внедрения вдоль оси х в потенциальной
яме: V(х) = V{ха)+ {К/2) (х - ха)2.
Обозначив эту частоту через v, получаем окончательно для'вероятности
перескока:
w = v exp(-AV/kBT). (2.80)
В равновесном состоянии в каждом направлении имеет место одинаковое число
переходов. Под действием постоянного электрического поля дефекты
внедрения движутся, (если они заряжены) по*) направлению поля.
Подвижность можно получить, если предположить, что электрическое поле
меняет только высоту потенци-
*) Или, соответственно, против. (Примеч. пер.)
ехр [- V (x')lkBT] Ж СХР (- I>l/2MkВТ) dpx w = ------------------ i-----
------------------------. (2
-. (2.76)
100
ГЛ. 2. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
I
ального барьера AF. Если дефект внедрения имеет однократный положительный
заряд, то следует вычесть величину еЕа/2 из Д V в направлении поля и
добавить соответствующую величину в противоположном направлении. Разность
между вероятностями перескока в направлении поля и в противоположном
направлении, умноженная на длину прыжка а, есть средняя скорость дефекта
внедрения. Подвижность получается отсюда делением на величину
напряженности электрического поля Е. В результате
W^
Подвижность дефектов кристаллической решетки и следующие из законов
действующих масс их концентрации определяют ионную проводимость в
постоянном электрическом поле. Связанный с ионной проводимостью перенос
заряда и массы обусловлен либо дефектами внедрения, либо миграцией
вакансий. В последнем случае атомы решетки последовательно совершают
отдельные перескоки, заполняя вакантные узлы кристаллической решетки,
перемещая таким образом вакансии в противоположном направлении.
Диффузия в твердых телах также связана главным образом с миграцией
дефектов решетки. Отдельные атомы могут поменяться местами с ближайшими
соседями, но диффузия в гомогенных твердых телах в большинстве случаев
обусловлена миграцией вакансий пли дефектов внедрения. Мы не хотим
