Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
§ 16. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ
85
невозмущенной цепочки при наличии внешней силы Fn =
= - Me<"2So?"o, действующей на n-ый шарик. С помощью фурье-пре-
образования
= s(?)exp(- iqan), Fn = -i= У F (q) exp(- iqan) (2.33)
1/ N q V q
(N -- число шариков в цепочке, периодические граничные условия) полуйаем
уравнение
- оt?Ms (q) + ^4/sin2 s(q) = F (q). (2.34)
Следовательно,
s(q)= FJq)l(tm)F' <"l = ws[n2ir- (2-35)
CD* - CO iri ^
Домножение на N~i/2 exp(-iqam) и суммирование no q дает
1 V ^"exp[iga(re-m)]
Sm~~MW2d ш2 _ ш2 • (2-36)
gn g •
При подстановке сюда Fn из (2.32) для т = О следует, что
<2-37)
Это уравнение имеет такую же структуру, как и уравнение (ч. II.82.7). Оно
может быть решено графически. Это сделано на рис. 25. Снова видим тот же
самый результат, что и полученный выше: для о < о)0 находим лишь слабое
смещение по сравнению со случаем е = 0; для о > ю0 отщепляется решение,
если Ма < М.
Уравнение (2.37) можно распространить на трехмерный случай. Для
кубической решетки следует лишь заменить скалярную величину к вектором к,
распространить суммирование на все ветви фо-нонного спектра и поделить на
число ветвей.
Рассматриваемый до сих пор одномерный пример ограничен це-ночкой
идентичных шариков. Тогда возникает только акустическая ветвь,
охватывающая диапазон частот от нуля до граничной частоты <й0. Можно,
таким образом, видеть, что только дефекты с положительным е (меньшая
масса Ма) порождают локализованные колебания решетки. Как наглядно
показано на рис. 17, дискретный уровень отщецляется от дна или вершины
зоны в зависимости от того, больше или меньше -потенциал (масса) дефекта
потенциала решетки (больше или меньше массы М). Поскольку здесь
акустическая ветвь начинается уже при нулевой частоте, локализованное
колебание может отщепиться только "вверх". Это обусловливается дефектами
с М0< М. ¦
Согласно этим соображениям в решетках с базисом, которые имеют в своем
колебательном спектре как акустические, так и оп-
86
ГЛ. 2. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
х о хоч i Д>
р
.Li,ОХ
тические ветви, локализованные колебания должны иметь место не только под
верхней частотой, но также в энергетической щели между акустическими и
оптическими ветвями (щелевые моды, gap modes). Одномерная модель с
двухатомным базисом (ч. I, рис. 43, б, 44) уже демонстрирует это. Мы
снова не будем выполнять вычисления. Согласно рис. 24 результат
заключается.в следующем: если масса Ж0 меньше массы замещенного атома (Ж,
или М2, уровни локализованных колебаний появляются над оптической
ветвью. При определенных условиях локализованный уровень может
отщепляться также и от акустической ветви. Отщепляющийся от оптической
ветви уровень является самым верхним оптическим
уровнем, соответствующим q = 0. В нем все Ж4-атомы колеблются в фазе по
отношению к Ж2-атомам. Соответствующее локализованное колебание сохраняет
это свойство (рис. 24, а). Щелевые моды отщепляются от ко-
лебаний с q = ±п/а, когда Ж, > Ж0 > > Ж2. Согласно результатам ч. I, § 30
в этом случае эквивалентные атомы соседних ячеек колеблются в
противогазе. Это опять отражается в поведении локализованных
колебаний
(рис. 24, б).
Рис. 24, в иллюстрирует резонансное колебание в акустической ветви. Это -
аналог резонансных состояний дефектов в энергетических зонах,
обсуждавшихся в § 14. Сильное смещение дефекта связано здесь с малым
смещением большого числа соседних атомов (длинноволновые акустические
колебания).
Локализованные колебания решетки часто активны в инфракрасном диапазоне и
могут, следовательно, быть обнаружены в спектре поглощения кристалла. Для
оптического перехода спра-
Рис. 24. Локализованные колебания решетки: а - при одинаковых атомах в
депочке - локализованные колебания над граничной частотой coo, для
цепочки с базисом - локализованные колебания над оптической ветвью; б -
локализованные колебания между акустической и оптической ветвями [щелевые
моды (gap modes)]; в -резонанс в акустической ветви. (По Сиверсу [124Д)
ОХОХОХб хо
•U
Э ХОХр X,
§ 16. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ
87
ведлив закон сохранения энергии. Сохранение волнового вектора, вследствие
искаженной периодичности решетки, не является необходимым. В спектре
имеются -дискретные уровни? Изотопические дефекты являются примерами
случаев, к которым может быть применена указанная выше модель (обобщенная
на три измерения),- они являют собой атомы решетки, которые отличаются
от, других
атомов решетки только своей массой, а не химической природой. В случае
примесных атомов, наряду с изменением массы, присутствует по крайней мере
изменение жесткостей / их связей с соседними атомами первичной решетки.
Линии поглощения локализованных колебаний важны для анализа
присутствующих в кристалле дефектов и их комплексов. В качестве примера
рассматриваем атомы Si как дефекты в GaAs. Четырехвалентный Si-атом может
занимать в кристаллической решетке как место (трехвалентного) Ga, так и
место (пятивалентного) As. Наряду с SiGa и SiAs, возможны также пары
