Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
можем ограничиться рассмотрением электрон-фононного взаимодействия.
Из сказанного следует, что самой главной частью физики твердого тела,
изучающей электрон-фононное взаимодействие, должно быть поведение
твердого тела во внешних полях, т. е. явления переноса в твердых телах.
Наряду с электрическими полями, внешними полями могут быть добавочное
магнитное поле и температурный градиент. Электроны, движущиеся за счет
внешних сил, несут с собой заряд и энергию. Нашей целью, следовательно,
является вычисление электрического тока и потока энергии.
Обе величины легко определяются, если известно число электронов с
заданным импульсом в данной точке как функция времени. Эта функция
распределения вытекает из некоторого дифференциального уравнения, так
называемого уравнения Больцмана, которое мы приведем в § 52. Уравнение
Больцмана для электронов легко решается, если взаимодействие электронов с
решеткой можно описать с помощью времени релаксации, которое входит в
виде константы в экспоненциальное спадание возмущения системы электронов.
Если это невозможно, то для решения уравнения Больцмана приходится
обращаться к вариационному исчислению. Оба эти способа будут описаны в §
53 и 54.
Наряду с возмущением системы электронов, надо еще рассмотреть возмущение
системы фононов внешними силами (темпе-
208
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [ГЛ. VIII
ратурный градиент) и взаимодействием с электронами. К уравнению Больцмана
для электронов надо, следовательно, добавить второе уравнение Больцмана
для фононов. Мы это рассмотрим вл§^52, приняв, однако, приближение, что
при расчете функции распределения электронов фононная система находится в
равновесии. К уравнению Больцмана для фононов мы вернемся в гл. XI.
§ 52. Уравнения Больцмана '
для электронной и фононной систем
Движение электронов в твердом теле под действием внешних сил мы опишем,
задав их положения и импульсы (ft-векторы) как функции времени. Это,
однако, требует некоторого ограничения. Для описания движения электрона
мы строим волновой пакет из одночастичных состояний. Такой пакет имеет
некоторую протяженность в геометрическом пространстве и в ft-
пространстве. Его среднее сечение Аг в геометрическом пространстве
связано с его протяженностью Ak в ft-пространстве соотношением
неопределенности ДгД&=1. Если мы хотим построить волновой пакет в ft-
пространстве так, чтобы его размеры были малы по сравнению со средним
радиусом зоны Бриллюэна (порядок постоянной обратной решетки), то его
протяженность в геометрическом пространстве будет велика по сравнению с
постоянной решетки. Мы должны потребовать, чтобы внешние поля (или другие
параметры, влияющие на электрон, как-то: температурный градиент или
неоднородности) практически не изменялись на ширине волнового пакета.
Движение электрона в быстро изменяющихся полях ионов решетки мы таким
способом описать не можем.•' Поэтому мы построим волновой пакет из
блоховских функций, которые уже содержат взаимодействие электрона с
периодическим потенциалом решетки. Мы должны соблюдать это условие, когда
речь идет об одном электроне в точке г с ft-вектором в ft (в зоне п).
Для описания электронного множества мы введем функцию распределения fn(r,
ft, t), которая дает вероятность некоторого "состояния" в зоне п, с ft-
вектором в ft и радиус-вектором г. Точнее: произведение функции
распределения [на плотность состояний и элемент объема фазового
пространства dxrdxk [дает число электронов (в расчете на основную
[область) в интервале пространства (г, drr) и в ft-интервале (ft, dxk>) в
момент времени t. Для однородного твердого тела и равновесии fn(r,k,t)
равна функции распределения Фермн (6.10). Что касается ее зависимости от
ft, то мы можем функцию распределения идентифицировать со средним числом
заполнения п*, как мы это делали в § 50.
В дальнейшем мы опустим индекс п при функции распределения, так как кас
всегда будет интересовать электронное мно-
ЭЛЕКТРОННАЯ И ФОНОННАЯ СИСТЕМЫ
209
жество только в одной зоне. Для того чтобы найти функцию распределения
f(r,k,t) при заданных внешних полях, рассмотрим ее зависимость от времени
(рис. 60). Проследим за некоторой группой электронов в элементе объема
фазового пространства dxr &Xk . Она будет с течением времени двигаться в
фазовом пространстве. Пусть при этом форма группы, а следовательно и
перемещающегося с ней элемента объема, существенно не меняется за
рассматриваемый малый промежуток времени. Тогда субстанциональная
производная df/dt (т. е. изменение / в движущейся вместе с группой
системе координат) была бы равна нулю, если бы электроны из-за электрон-
фононного1 взаимодействия не переходили из заданного неподвижного объема
(k,dxk) в другой объем (ft', dxk') и обратно.
Такой процесс, связанный с испусканием или поглощением фонона, мы,
согласно принятой номекла-туре, будем называть столкновением с решеткой.
Пусть изменение функции распределения из-за столкновений с решеткой^
