Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
электронов и фононов в ft- и соответственно (7-пространстве сдвинуто
относительно нуля в направлении вектора 8. Такое состояние связано с
прохождением потока. Из выражения (52.10) следует, что при
предположениях, приводящих к этому уравнению, это состояние стационарно и
при выключении внешнего поля не возвращается в равновесное состояние! Это
связано с тем, что в (52.10) не учтены процессы переброса и другие
механизмы рассеяния. Они необходимы для того, чтобы каждая возмущенная
система могла возвратиться в состояние равновесия. Нормальные процессы
для этого не всегда достаточны. Уравнения Больцмана для электронов и
фононов образуют связанную систему интегро-дифференциальных уравнений для
функций распределения f(r, ft, t) и g(r, q, t). Суммирование no ft и no
q, как обычно, заменяется интегрированием в ft-пространстве и
соответственно в (7-пространстве (при этом в каждом члене надо правильно
устанавливать пределы интегрирования). Мы не будем их больше обсуждать в
общем виде. Сделаем теперь некоторое предположение, которое сильно
упростит решение уравнения Больцмана для системы электронов. Предположим,
что равновесие фононной системы устанавливается настолько быстро, что ее
возмущениями можно пренебречь ("Блоховское предположение"); тогда в
(52.10) можно заменить g(q) равновесным распределением g0. В этом
приближении можно переписать (52.10) в более простой форме:
(%f)cT = '?{W(k + q,k)(l-f(k))f(k + q)-
- ^ (ft, k + q)(l-f(k + q))f(k)\, (52.11)
где вновь введенные W (ft + q, кУ и W (k, k + q) содержат множители g0 и
б-функции из (52.10). Можно дальше преобразовать (52.11), подставив ft +
<7 = ft' и суммирование по q заменив на интегрирование по ft':
(§)""$ dxk. {W (ft', ft) (1 -f (ft)) f (ft') -
- W (ft, ft')(l-f(ft'))f(ft)}z(ft'). (52.12)
Предполагая, что при процессе взаимодействия спин электрона не меняется,
надо включить в плотность состояний г (ft) число состояний с одним только
направлением спина" 1/(2я)3.гВеличины W\k, ft') могут^быть определены из
(52.10). При?(<7) = ?(-<7)=g0 (распределение"Бозе) следуют соотношения
симметрии
W'(k', ft) ея {U)/kRT = W (ft, ft') eE <^/квТ. (52.13)
Учитывая (52.13), видим, что в равновесии (f = f") исчезает правая часть
(52.12).
$53]
ПРИБЛИЖЕНИЕ БРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ
213
Разделим функцию распределения на равновесное значение f0 и возмущение
6f; тогда видим, что в подынтегральную функцию (52.12) войдут
квадратичные члены по бf. Для малых возмущений^ этими членами можно
пренебречь, столкновительный член линеаризуется. Особенно простой вид
получается, если использовать следующие обозначения:
V(k, ft') = K(ft'.ft) = W (ft', ft) (1 -f0 (ft)) f0 (ft') =
= W(k, ft')(l-fo (ft'))/о (ft).
f = fo+ Sf, 5f = 5Ф = jLr f0 (1 -/") 6Ф. (52.14)
Тогда линеаризованный столкновительный член
(ж L "iM(ft'*ft) (бф {k>) -5Ф {к)) z{k']- (52-15)
§ 53. Приближение времени релаксации
Если система электронов переведена внешним возмущением в неравновесное
состояние "и затем это возмущение снято, то процессы электрон-фононного
взаимодействия (и "другие, не рассматриваемые! здесь процессы
взаимодействия) ответственны за возвращение системы в равновесное
состояние. Это описывается, согласно (52.1), дифференциальным уравнением
#-№)"• f63-1"
Релаксационные явления такого рода при малых возмущениях часто протекают
экспоненциально. Тогда столкновительный член приобретает вид
некоторого^коэффициента, состоящего из отклонения функции распределения
от равновесия и характеристического времени, времени релаксации т:
f = h + Ce-tl\ (53.2)
Введение времени релаксации существенно упрощает решение уравнения
Больцмана. Поэтому мы исследуем, при каких предпосылках применимо
приближение времени релаксации. Для этого мы должны попробовать привести
столкновительный член к такому виду, в котором рбы он был пропорционален
Sf, а коэффициент пропорциональности не зависел бы от возмущения.
В качестве первого шага рассмотрим упругое рассеяние. Энергия электрона
до*'и после рассеяния остается постоянной, изменяется только направление
ft. Это, конечно, никогда не выполняется строго. Однако при испускании
или поглощении длинноволновых акустических фононов энергия фононов часто
пренебрежимо мала по сравнению с энергией электронов. При поглощении
214
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [ГЛ. VIII
оптического фонона это пренебрежение недопустимо. Однако при низких
температурах возбуждение электрона при поглощении оптического фонона
настолько сильно, что велика| вероятность непосредственного испускания
фонона и обратного перехода в состояние с исходной энергией, но со
случайно измененным направлением ft. Это взаимодействие является упругим
рассеянием, если рассматривать процесс второго порядка с виртуальным
промежуточным состоянием.
Подставим теперь ? (ft') = ? (ft). Тогда из (52.13) уже следует, что W
(ft', ft) симметрично по отношению к ft и ft'. В подынтегральном
выражении (52.12) выпадают квадратичные члены, и, следовательно,
