Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
свободные электроны, как в (50.10), учтем взаимодействие в общем виде
(см. (49.9) с Mkq, произвольно зависящим от k и q) и волновые функции
(49.11).
Энергия невзаимодействующей системы Ет задается тогда выражением
?<0) = X^rt* + Xftco?rt?" (50.18)
k
а для Е{1) следует из (50.8)
?<!> = ?<0, + ? | Mkg |, (1 _nft+9) Пк х
k, q
xf_________"jL________I_______n-g+ 1_____\ /^q ig\
\E(k)-E(k+q)+Uq~rE(k)-E(k + q)-Uj'
Преобразуем это уравнение, подставив вместо чисел заполнения их средние
статистические значения. Далее, предположим наличие равновесия, тогда n-q
= nq. Наконец, перегруппируем члены суммы. Тогда получается
?") = ?("> + ^ | Mhq |. (J -nk+q)hk х
kq
x<f_________1 2 (E(k + q)-E(k))hg ) f50 20)
\E(k)-E(k+q)-Ug (E(k)-E(k + q))*-(Ug)*l
Для одного электрона, при отсутствии фононов (я* = 1, все остальные я*- и
все пч равны нулю), отсюда вытекает (50.10). Энергию одной частицы
получаем из (50.18) и (50.20) дифференцированием соответственно no л* и
пд.
Обратимся к еще не рассмешенному случаю перенормировки энергии фононов.
Дифференцируя (50.20) по nq. (и заменяя q' на q), получим
К" - К">-? I м" у¦ (1 -п,") п. ¦
(50.21)
206
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТЬИЯ [ГЛ. VIII
Второй член может быть вычислен, только если известны Мьч. Покажем
точнее, что этот член связан с виртуальным рождением электронно-дырочных
пар. Для этого рассмотрим систему газа свободных электронов в основном
состоянии. Электрон но-дыроч-ные пары являются тогда возбуждениями,
которые мы уже рассматривали в § 5 и 11 (рис. 2 и 3). Такие возбуждения
пар возможны только из заштрихованной части сферы Ферми на рис. 2. Именно
это условие выполняется благодаря множителю (1-пк+д)пн при суммировании
по А в (50.21). Если заменить суммирование по k интегрированием по сфере
Ферми, то tik сразу приобретают вид ступенчатых функций (распределение
Ферми при Т = 0).
Изменение энергии фононов зависит от q, во-первых, через зависимость от q
матричного элемента и члена, содержащего энергию, и, во-вторых, через
изменение области интегрирования. Из рис. 2 видно, что при q < 2kp могут
рождаться электроннодырочные пары, у которых электрон и дырка могут
обладать одинаковой энергией Ер = %ък2р12т. При значениях q > 2kP это уже
невозможно, q - 2kP есть наименьшее значение q, при котором суммирование
в (50.21) производится по всей сфере Ферми. Можно показать, что из этого
следует, что при q = 2kP появляется логарифмическая сингулярность на
подъеме дисперсионной кривой со}1> (<7) (аномалия Кона). Ее наблюдали в
фононном спектре свинца.
Аналогично с (50.21), сдвиг одноэлектронных состояний при электрон-
фононном взаимодействии можно найти, дифференцируя (50.20) по tik'. Для
единичного электрона при низкой температуре (пд = 0) мы это выше уже
обсуждали. Исходя из (50.20), расширим эти результаты на случай
электронного газа (т. е. на какой-либо газ свободных ферми-частиц и
произвольное возбуждение фононной системы). Одним из важнейших
результатов для газа свободных электронов будет изменение Е (k), в
особенности вблизи k - kP, т. е. вблизи поверхности Ферми. В то время как
в точке k - kP не происходит изменения, энергии Е ниже поверхности Ферми
смещаются4^ более высоким, а выше поверхности Ферми-к более низким
'значениям. Величина dE/dk, следовательно, там будет меньше. Другими
словами, это означает, что скорость электронов гвблизи "поверхности Ферми
уменьшается. Мы не будем останавливаться этих поправках к
одноэлектронному приближению зонной модели, тем более что по сравнению с
этими поправками становится существенным влияние электрон-электронного
взаимодействия. Следовательно, электрон-электронное взаимодействие и
электрон-фононное взаимодействие должны рассматриваться совместно. Укажем
по этим вопросам на книгу Пайнса [16]. Более глубокое обсуждение
уравнения (50.20) дает Тейлор [19].
ввёденйё
•207
Б. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА § 51. Введение
Электрон-фононное взаимодействие приводит к тому, что система электронов
и ионная решетка обмениваются энергией и импульсом. Особое значение
имеет^ это взаимодействие, когда одна из систем не находится в
равновесии. Если внешним электрическим полем ускорить систему электронов
в твердом теле, то энергия, полученная от поля, возбудит колебания
решетки, т. е. приведет к испусканию фононов, и, таким образом,
передастся решетке. Только этим способом может установиться стационарное
состояние при прохождении тока.
Ускорение электронов электрическим полем и их "торможение" при испускании
фононов уравновешиваются. После выключения электрического поля процессы
взаимодействия приводят к установлению равновесия в системе электронов.
Электрон-фононное взаимодействие не является единственным процессом,
который приводит к диссипации избыточной энергии у системы электронов. К
этому же приводит рассеяние на нарушениях решетки, на границах зерен
кристалликов и на поверхности. Так как в этой книге мы будем
рассматривать твердые тела без нарушений и бесконечно протяженные, то мы
