Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Второй член справа (после суммирования по всем а, п, I) является
оператором Гамильтона элекгрон-фононного взаимодействия.
Отклонения sna мы можем переписать по (31.2) в нормальных координатах и
последние по (А.З) выразить через операторы рождения и уничтожения. Тогда
мы получим
#ei-ph = - И 2. Q.qiZiq'Rne(a (q) grad Va (г, - Rna), (49.4)
anl V NMa. jq
где
Q*/ =(2^r)l/2 (a-qi+a4i)>
N - число вигнер-зейтцевских ячеек в основной области. Фонон-ная часть,
записанная в представлении чисел заполнения, показывает, что в этом
приближении возможны два процесса взаимодействия: один, при котором фонон
с волновым вектором q ветви / уничтожается, и второй, когда рождается
фонон /, -q. Этот импульс должен быть приобретен от системы электронов.
Следовательно, надо предположить, что оба процесса сопровождаются
переходом электрона из состояния к в состояние k-\-q. Для того
7*
196
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 1гЛ. VIII
чтобы подтвердить это предположение, построим электронную часть (49.4)
через операторы рождения и уничтожения фермио-нов. По (А.31) для
оператора Гамильтона, который состоит из суммы одночастичных операторов,
будет
Н = 2 h (г,) = 2 <k'o | h |fto> cpacka. (49.5)
l ktt'O
Здесь надо провести только одно суммирование по спину, так как при
рассматриваемых переходах из ft в ft' спин сохраняется. Согласно (49.4) с
точностью до множителей, не зависящих от гг, h(rL) есть оператор
gradFa(ri - R"a). Матричный элемент в правой части (49.5) строится на
блоховских функциях. В дальнейшем мы можем опустить индекс I при гг.
Построив для Va ряд Фурье, находим для матричного элемента сначала
<ft'a| gradFa| fto> = ^e-i'*'RnV<mix<,k'a\<ziK r\kcs>. (49.6)
К
Сумма по л в (49.4) содержит теперь уже только два экспоненциальных
множителя. Вследствие того, что
2ег<*-и> *" = Л?2би, 9+/em,
п Кт
в сумме по у. остается только член x = q + Кт. Если в интеграл (49.6)
справа подставить для |ft> блоховские функции и учесть, что в
подынтегральное выражение при множителе exp((ft + <7-
- k')-r) входит только произведение r)un(k) г), периодич-
ное по решетке, то интеграл лишь тогда отличен от нуля, когда k'=k + q +
Km. Тогда остается
Не i-ph = Si Л/" jy- Va, q+Kmi (9 Km) (*7)X
akaKmiq ' "
xj/~2%rt )un{4 + Km + k, r)un(k, r)d%{atqj + aqi)ct+q+Km,aCk,a.
(49.7)
Здесь мы еще приняли n = n', так как мы можем положить, что электрон при
переходе из ft в ft' остается в одной и той же зоне.
Отсюда непосредственно видно, что при испускании фонона q или поглощения
фонона -q электрон переходит из состояния ft в состояние Вышеприведенные
предположения, следо-
вательно, не вполне точны. Это связано со следующим обстоятельством: ft и
ft' являются приведенными ft-векторами обеих блоховских функций | ft> и
|ft'> и, следовательно, лежат, как и "^-вектор фононов, в первой зоне
Бриллюэна. Если векториально прибавить к вектору ft вектор q, то
результирующий вектор может попасть из зоны Бриллюэна в соседнюю зону
повторяющейся
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМИ
197
зонной схемы. Конечная эквивалентная точка (первой) зоны Бриллюэна будет
k', так что к k-\-q надо прибавить соответствующее Кт (рис. 58). Это
построение показывает также, что для каждой пары k,kq величина^/if,,,
определена и, следовательно, сумма по Кт В (49.7) сводится к одному
члену. Если это Кт = 0, то k + q лежит вблизи k и q в той же зоне
Бриллюэна. Такой переход называется нормальным процессом.
Если Кш ф 0, то переход называют процессом переброса. При этом надо
помнить, что выбор положения зоны Бриллюэна в ^-пространстве
неоднозначен. В зависимости от распределения ^-пространства по зонам
Бриллюэна один и тот же процесс может быть либо нормальным, либо
процессом переброса. Тем не менее это различие важно для дальнейшего (§
52, 91).
Для дальнейшего обсуждения сделаем некоторые предположения об
используемых приближениях. Сначала ограничимся решеткой Браве. Тогда
отпадают индексы а (одноатомный базис) и j указывает только на различные
акустические ветви. Оптические ветви не существуют. Далее, мы ограничимся
только нормальными процессами, т. е. будем рассматривать лишь
возможности, изображенные на рис. 58. Тогда в (49.7) Кт = 0. Наконец,
предположим, что фононы либо только поперечные, либо только продольные.
Вектор еч\ следовательно, должен быть либо параллелен, либо
перпендикулярен к q. При этих ограничениях остается
Неi.ph = -? и/ *fi-V9eV>-qx
Xi V 2ЛН/
x\u*n(k + q, r)u"(k, r)di{atq! + aqj)ck+q,ack,a. (49.8)
В качестве первого важного результата получаем из (48.9), что так как
e{J)-q = 0 для el'> _|_ q, то только продольные фононы акустической ветви
взаимодействуют с электронами. Согласно с этим мы можем исключить
суммирование по j и записать в упрощенном виде:
He\.ph~ 2 Mfiq (fl-q -)- aq) Ck + q, aCk, O' (49.9)
giq
С помощью оператора (49.9) мы вычислим вероятность перехода электрона из
состояния \k> в состояние \k-\-q>. Спин при этом сохраняется, и мы можем
