Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
(г|>-Ф, ?(ф-Ф))>0, (54.4)
(tpZ-ip) + (Ф?Ф) - (ФЬ$) - (т|)1Ф) =
= (г|?г|>) + (Ф?Ф) - 2(г|)1Ф)>0, (54.5)
и так как (г^Ф) = (ipF) = ("ф^), то
(Ф1Ф) > (г|>1г|>). (54.6)
Среди всех г|), удовлетворяющих условию (я]?/7) = (-ф^гр), Ф (т. е.
искомая функция 8Ф) делает интеграл (гр^гр) максимальным. Это и есть
основа вариационного метода. Вместо -ф подставляют пробную функцию с
неизвестными параметрами, варьируют по этим параметрам и, таким образом,
определяют сами параметры. Результаты, в рамках выбранной функции,
оптимально аппроксимируют искомую возмущенную функцию распределения.
Выбор пробных функций зависит от внешних полей Е и grad Т.
Распространение этого метода на случай, когда есть и магнитное поле,
встречает затруднения-другим будет характер взаимодействия,
следовательно, и вид функции V(k', k). Не зная влияния обоих факторов,
невозможно дальше продолжать обсуждение этого метода. Один при,мер мы
рассмотрим в § 60. Далее мы указываем литературу, например книги Вильсона
[33], Займана [201, Хауга [11.11].
Однако уже отчетливо видно, что, не вводя время релаксации, невозможно
получить такое решение уравнения Больцмана, которое бы давало возможность
учесть любые внешние поля. Это возможно, как мы покажем ниже, только в
приближении времени релаксации. Поэтому в дальнейшем мы в большинстве
случаев будем пользоваться этим приближением.
В. ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА § 55. Введение
Зная функцию распределения электронов, можно сразу записать плотность
электрического тока и плотность потока энергии:
i = \{-ev)f (г, k, t) z'(k) dxk -
= -у j*gradkEf(r, k, t) z (k)dxk, (55.1)
w= $ E(k)vf (r, k, t)z(k)dxk =
= ~ j* grad* EE(k)f (r, k, t)z(k)dxk, (55.2)
218
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГГЛ. VII!
Однако лучше оба эти уравнения переноса вывести в общем виде из
термодинамики необратимых процессов и, исходя из них, рассмотреть
различные явления переноса (кинетические явления). Это мы сделаем в
следующих параграфах. Появляющиеся при этом кинетические коэффициенты мы
тогда сможем~рвычислить количественно, с помощью результатов, полученных
в следующих параграфах, и сравнить с результатами эксперимента. Это и
будет составлять содержание заключительной части Г этой главы.
§ 56. Уравнения переноса (кинетические уравнения)
Условием равновесия в однородном твердом теле, как мы показали в § 6,
является существование химического потенциала ?, одинакового для всех
точек. Этот химический потенциал, входящий в распределение Ферми, вместе
с плотностью состояний определяет распределение энергии электронов в
равновесии.
При этом мы не ставили вопроса о зависимости определяющих параметров от
координат пространства. Зависимость плотности состояний от координат
пространства означает неоднородность твердого тела. (Зависимость зонной
структуры от положения в пространстве в (22.4).) В распределении Ферми
энергия (зонная структура), температура и химический потенциал могут
стать зависящими от пространственных координат. Если, как мы до сих пор
делали,''мы ограничимся рассмотрением однородных твердых тел, то En(k) не
зависит от точки в пространстве. Внутренние макроскопические поля могут
вызвать электростатический потенциал, зависящий от точки в пространстве,
который мы, как в г§ 27, можем прибавить к энергии''зонной структуры:
Е =
= ?"(*) -еср. Тогда мы должны в f0, как в (53.11), заменить
химический потенциал на электрохимический потенциал т] = ? --еср:
fo(E, 11> Т) = (E-r\)/kBT (56.1)
е а +1
При такой формулировке условием объемного равновесия является
независимость электрохимического потенциала и температуры от координат в
пространстве. Это условие дополняет условие локального равновесия:
существование одинакового химического потенциала для всех точек.
Из сказанного мы получаем обратное условие для отсутствия объемного
равновесия, именно для протекания потоков:
grad г] Ф 0 или gradT^O. (56.2)
Оба^ градиента являются действующими силами, которые вызыт вают потоку.
§ 56] УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА (КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВЬЁНИЯ 219
Для вывода основных уравнений теории переноса будем исходить из
термодинамических соотношений
рГЖ = рЖ~$Ж (TdS = dU-ldN для dV = 0). (56.3)
Здесь р-плотность, s -удельная энтропия, и - удельная внутренняя энергия,
? и п - химический потенциал и концентрация электронов.
Уравнение (56.3) может быть преобразовано при учете следующих положений:
а) *L + divJ=Of (56.4)
где j-плотность потока частиц-,
б) сохранение энергии при отсутствии внешних сил:
p-^ + di vw = K-j, (56.5)
где w - плотность потока энергии, соответствующая и.
Так как j есть плотность потока частиц, то в локальном обра-зовании
энергии (правая часть (56.5)) К должно быть внешней силой, действующей на
один электрон. Оба уравнения можно использовать для того, чтобы
сформулировать из (56.3)j закон сохранения энтропии. При рассмотренных
здесь процессах может возникать локальная энтропия, поэтому, аналогично с
(56.5), правая часть уравнения непрерывности для энтропии не равна нулю.
