Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
будет (df/dt)CT\ тогда df/dt = (df/dt)CT, или, если заменить
субстанциональную производную на локальные производные и учесть
зависимость от времени r(t) и k(t), получим
4t=W + k Srad* f + Г &adr ^ = ( " )ет • (52J)
В стационарном состоянии локальная производная по времени равна нулю и
остается
*gradft/ + rgradr/ = (!?)eT. (52.2)
Это обычная форма уравнения Больцмана электронной системы, которая
позволяет найти функцию распределения при наличии внешних полей, если
известно электрон-фононное взаимодействие.
Взаимодействие определяет вид столкновительного члена в правой части
(52.2). В левой части заменим к на (21.7):
к = ~ j(E + ±vxBy (52.3)
Здесь, следовательно, появляются внешние электрическое и магнитное поля.
Величину г заменим групповой скоростью волно-
dtrdtk(i)
Рис. 60. Группа электронов при действии внешних полей движется в фазовом
пространстве как 'целое. В результате поглощения или испускания фононов
отдельные электроны покидают группу нли вступают в нее.
210
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ (ГЛ. VIII
вого пакета из (20.10):
г = -jr grad* Е {к). (52.4)
Скорость, вошедшую в (52.3), тоже заменим на (52.4). Отметим, наконец,
что функция распределения f (равновесная часть которой содержит
распределение Ферми /0 (Е, ?, Т)) зависит от температуры. Множитель gradr
/, следовательно, учитывает и возможный градиент температуры.
Соответствующее уравнение Больцмана можно записать и для |системы
фононов. Из среднего числа заполнения пд мы определим функцию
распределения фононов g. Ее равновесное значение g0 есть распределение
Бозе (31.19). При наличии температурного градиента функция ^распределения
g может оказаться зависящей от пространственной координаты: g = g(r, q,
t). Аналогично выражению (52.2), находим
rgradrg=(|)cT, (52.5)
так как на фононы действует только одна сила-градиент g в геометрическом
пространстве. Скорости мы можем, как и в (52.4), выразить через градиент
со (q) по q.
Обратимся теперь к обоим столкновительным членам уравнения Больцмана в
(52.2) и (52.5). Они описывают изменение числа заполнения электронных
состояний или соответственно изменение числа фононов одного нормального
колебания решетки. Оба члена являются суммами или разностями вероятностей
перехода, рассмотренных в (49.14). Мы записываем вероятности перехода для
электронов в виде
W(k^k + q)=W°ag(l~f(k + q))f(k)g(q)6(E(k + q)-
- E(k) - fmq) = Waq(k^k + q) (52.6)
при поглощении одного фонона q ив виде
W(k-+k + q) = W0e-g(l-f(k + q))f(k)(g(-q)+l)8(E (k + q)-
- E(k) + 1mq) = We.q (k-+k + q) (52.7)
при испускании одного фонона -q. Тогда находим для столкно-вительного
члена (52.2)
(" L= 2 +q ^кУ+ Wa-*(k+д -*¦*>-
- Wa4{k-*k + q)-We-q(b'-+k + q)}, (52.8)
т. е. сумму по всем вероятностям рассеяния из состояния k + q в состояние
k (в результате испускания фонона q или поглоще-
§52]
ЭЛЕКТРОННАЯ И ФОНОННАЯ СИСТЕМЫ
211
ния фонона -д) минус сумму по всем вероятностям рассеяния из
рассматриваемого состояния k в произвольное состояние k + q (при
поглощении фонона q или испускании фонона -q).
Соответственно стслкновительный член в (52.5) есть сумма по всем
процессам столкновений, которые связаны с испусканием фонона q, минус
соответствующие процессы поглощения:
(§f)CT = ?{lF",(* + 0 -*)-^(* -k + q)\. (52.9)
k
Вследствие принципа микроскопической обратимости вероятность процесса,
протекающего между двумя состояниями, должна быть независима от
направления его протекания. Отсюда мы заключаем, что в (52.6) и (52.7)
множители Waaq и W°q равны. Это условие вытекает также из требования,
чтобы в равновесии столк-новительный член исчезал. К этому мы сейчас же
вернемся.
Запишем столкновительный член для электронной системы, использовав (52.6)
и (52.7) при Wlq = Weq и изменив индекс суммирования q на -q в некоторых
членах:
(ж)ст = * Ш1 " f т f{k + q) (S {q)+ 1^"
Ч
- (1 -f (k + Q)) f (k)g (*)] b(E{k + q)-E (k) - Uq) -
- [0-f(k-q))f(k) (g(tf) + 1)- -~(\-f(k))f(k-q)g(q)]8(E(k-q)-E(k) +
fi(r)q)}. (52.10)
Аналогичное выражение вытекает из (52.9) для столкнови-тельного члена
фононной системы. Если привести правую часть
(52.9) к симметричному виду:
Т + + (к -*¦ k - q)-
k
- Waq [к - k-\-q) - Waq (k-q-+k)\,
то отличием по сравнению с (52.10) будут только: множитель 1/2,
суммирование" по k вместо q и знак плюс перед втоорой квадратной скобкой
вместо минуса.
При равновесии левые части (52.2) и (52.5) будут равны нулю.
Столкновительные члены, следовательно, тоже должны исчезнуть. Если для
f(k) и g(q) в (52.10) подставить соответственно распределение Ферми
(exp[(?(Ar) - t)/kBT]+ I)-1 ' и Бозе (ехр \шлч /kBT~\-I)-1, то квадратные
скобки исчезнут из-за выраженного через б-функцию закона сохранения
энергии.
Легко убедиться, что обе скобки исчезают и в случае, если к Е (k) в
числителе экспоненты распределения Ферми прибавить член Ь'к, а к
распределения Бозе-(-Ь-q) с произвольным
212
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [ГЛ. VIII
вектором 6. Это описывает состояние, когда равновесное распределение
