Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
плоские волиы дополненные вакуумнС состоянием |0> системы фононов.
Энергия нулевого поря;'"'1 * (^) = ^4&4/2/п. Состояния, по
которым будет произво-
др'-,ся суммирование в дополнительных членах, являются состояниями, при
которых испускается оптический фонон с энергией Щ и волновым числом q.
Тогда (50.7) и (50.8) будут
s(r)"]/ (5<U)
(50.8)
(50.7)
ПОЛЯРНЫЕ КРИСТАЛЛЫ. ПОЛЯРОНЫ
203
Из (50.6) следует, что матричный элемент в обоих уравнениях равен
(ft 1^ I ^el-ph I fly ОдУ-
1 т/2ле*Ьщ fj_ LW-- . (50.11)
"7 V Ve U- го) 4
Начнем с вычисления энергии (50.10). Заменим сумму по q интегрированием
по зоне Бриллюэна в ^-пространстве, тогда получим
iCpVff Г 1 /й2 , \-i
= + . (50.12)
В дальнейшем ограничимся областью энергий Д2&2/2т < &"г. Энергии
состояния "электрон kr> тогда не хватает для возбуждения состояния
"электрон k - ^-(-фонон <7". Однако электрон может испускать и вновь
поглощать виртуальные фононы, которые существуют настолько короткое
время, что для них из-за неопределенности энергия- время может не
выполняться закон сохранения энергии. В то время как нулевое приближение
описывает свободный электрон, электрон^уравнения (50.12) окружен облаком
виртуальных фононов. Именно' это'и определено как квазичастица - полярон.
Для малых k подынтегральное выражение в (50.12) разлагается в ряд. Тогда
получается
Eil)(л)=ж-'а(йю'+шг+ %Ч2'
2т*
(50.13)
где
е2 /2тюД1/2/ 1 1\
"-2&",( П ) (в. в,)' (50Л4)
(50-15)
Энергия полярона, таким образом, ниже энергии свободного ^лек-трона на
величину ah(r),, а масса его больше в т**1т раз. Ве^.ч. чина а"представляет
собой параметр связи для электрон-фонон-ного взаимодействия (50.6). Если
а мало по сравнению с единицей (слабая связь), то использованное''
решение с помощью теории возмущений ^оправдано. Если а велико по
сравнению с единицей (сильная связь), то должньГ1 быть использованы
другие методы. Для того чтобы получить представление о том, что означает
сильная и слабая связь, вычислим соответственное среднее число
виртуальных фононов N в поляроие. С помощью оператора чисел
204
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [ГЛ. VIII
заполнения фононов получим
ч
N =-- <к, 01"> ?а+чад | к, 0>(1) = ? 1
^ \<к-д, 1ф|Яе,-Рь1*. °>12
" (?<1") (ft) - ?<°> (ft ¦- <?) - t со,)2 '
(50.16)
Сумму, как и в (50.12), можно заменить интегралом и матричный элемент
выразить через (50.11). В приближении малых k тогда получается
т. е. а пропорционально среднему числу соответственно возбужденных
виртуальных фононов. Типичные значения константы взаимодействия а для
полупроводников с частично ионными связами меньше единицы. Для наиболее
важных соединений III-V групп находят значения между 0,015 (InSb) и 0,080
(InP), для соединений II-VI групп -от 0,39 (CdTe) до 0,65 (CdS). При
вычислении этих значений для т были подставлены очень малые значения
эффективных масс электронов т*, характерные для этих твердых тел. Для
щелочно-галоидных соединений значения а лежат между 2,4 для LiI и 6,6 для
RbBr, если использовать в выражении (50.14) массу свободного электрона.
Результаты выражений
(50.13)-(50.17) справедливы только для граничного случая - большого
полярона. Только когда деформация решетки распространяется на большое
число постоянных решетки, последняя может рассматриваться как непрерывная
среда. Ионные кристаллы, для которых интересна концепция больших
поляронов, являются полупроводниками или изоляторами, и для них применимо
приближение эффективной мяссы. Использование плоских волн в матричных
элементах законно, если т заменить на т*. Это, наряду с приближением
непрерывной среды, является вторым предположением, которое ограничивает
применимость использованного здесь приближена •
Для ознакомления с представлениями теории поляронов сильной связи d также
теории "малых" поляронов рекомендуем в особенности Фрёлиха [63.3], статьи
в сборнике [37], статьи Аппеля г [57.21]г), Гертсена, Кауэра и Рейка в
[58.5] и Биркхольца и Бальтца в [58.XII]. К некоторым аспектам этой
теории мы вернемся в гл. XIII4).
Наличие виртуального фононного облака и обусловленная этим перенормировка
энергии и массы электрона не связаны специально
*) Перевод см. в книге "ПоляронызГпод ред. Ю.ГА. Фирсова.- М.: Наука.
1975. (Прим. ред.)
*) Автор ссылается на 3-й, непереведенный выпуск этой книги: Festkor-
pertheorfe III. Lokallsierte Zustande. Springer-Verlag, 1973. (Прим.
ред.)
(50.17)
ПОЛЯРНЫЕ КРИСТАЛЛЫ. полЯроны
205
с полярным взаимодействием. Любое взаимодействие между электронами и
фононами, в том числе и взаимодействие с акустическими фононами,
рассмотренное в последнем параграфе, приводит к изменению собственных
значений невзаимодействующей системы. При этом изменяются не только
энергии электронов, но и частоты фононов.
Мы еще раз покажем это в общем виде. Для этого будем исходить из
уравнения (50.8). Еп - энергия системы, состоящей из электронов и
фононов, - энергия без взаимодействия, Е- с взаимодействием. Рассмотрим
