Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маделунг О. -> "Теория твердого тела" -> 85

Теория твердого тела - Маделунг О.

Маделунг О. Теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 418 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 160 >> Следующая

столкновительный член автоматически линеаризуется. Мы получаем
(df т
\ dt /ст
= - 6f (ft) j dxk.z (ft') W (ft', ft) ( 1 8 (E (*')- E Ш (53.3)
6-функция ограничивает интегрирование no ft' поверхностью постоянной
энергии Е = Е (*):
г<*'¦*>('-,534>
Е = Е (*)
г (ft) -опять плотность состояний в ft-пространстве. В качестве
следующего приближения предположим, что внешние поля сказываются только"
в смещении распределения Ферми в ft-пространстве. Если f0 смещается в
направлении О, где вектор О содержит внешние поля и, кроме того, зависит
только от значения ft (или соответственно ft'), то получается
f(ft) = f0(ft) + ^G(ft).grad* Е + ... (53.5)
Для того чтобы этот подход привел к желаемой цели, нам необходимо еще
предположить, что энергетические поверхности Е-Е (k) сферичны. Тогда
gradkE будет пропорционален ft и
f = fo{E)-dJ±k-c(E). (53.6)
Мы ввели знак минус для того, чтобы (53.6) имело вид (52.14) с 6Ф =
kc(E). Если, наконец, обозначить угол между ft (и соответственно ft') и с
через й (и У), то для отношения 6f(ft')/6f(ft) находим значение cos У/cos
0.
Теперь интеграл в (53.4) не зависит от 6/ и может быть определен как
обратное время релаксации. Прежде чем это использовать, сделаем еще одно
последнее предположение, только для того чтобы упростить окончательное
уравнение. Пусть вероят-
$бз] приближение времени рёлаксАцйи 215
ность перехода W зависит только от угла между ft и ft', но не от
направления каждого из них. Тогда (53.4) можно записать в виде
(!)"-т <53-7>
с временем релаксации, зависящим от энергии:
J W(E,Q)(l~cosQ)^yiz(k')drE. (53.8)
Е = Е(к)
Здесь 0 - угол между ft и ft'. Для преобразования cosfr'/cosfr мы еще
использовали, что cos ft' = cos ft cos 0 +sin ft sin 0 cos tp и что
второй член этого выражения в интеграле исчезает при интегрировании по ф.
В этом приближении для уравнения Больцмана можно получить замкнутое
решение. Для этого сначала преобразуем левую часть уравнения Больцмана
(52.2).
В первом члене (ftgrad*/) разделим / на /0 и б/ и заменим grad*/0 на
(df0/dE) grad*? и ft на (52.3). Один член тогда исчезает, так как
grad*?,-(grad*?'x5) = 0. Кроме того, пренебрежем grad* б/ по сравнению с
grad*f0 и, использовав (52.14), получим1)
ft grad*/да - e-^-^vE- -^-((c) х 5) grad* 6Ф^ . (53.9)
Во втором члене преобразуем grad, f0:
grad, fo = -|^g- grad, 4^- =
kBT
= - Ш (§rad С+ grad r ) . (53.10)
Пренебрежем также grad, 6f по сравнению grad,/0 и используем
(52.14), тогда окончательно получим
6Ф =т |-ev • Е + (vx B)-gradk 6Ф-(c)*^grad? +
+ Е~т^ grad Т = - xv-^grad т] -f Е~^ grad +
+ ~(vxB)-grad*6(r). (53.11)
!) Имеем A gradkf = - e
получим gradftS/ = -gradft {ШьФ )=-^-gradft6(c) - 6(r)gradA(^ =
df f f \ *
=-g^Sradft6(r)-6Ф (J gradft?; скалярное произведение слагаемого,
пропорционального grad* ?> иа (v X В) равно нулю, отсюда прямо следует
(53.9). (Прим. ред.)
v.E-
4- ((r)Xtf)-gradft 6f. Используя (52.14), гьс
216
ЗЛЁКТ?ОН*ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ (ГЛ. V111
Во второй строке мы записали электрическое поле в виде отрицательного
градиента электростатического потенциала ф и далее объединили химический
потенциал ? с потенциалом -еср в электрохимический потенциал т] = ?-etp.
При отсутствии магнитного поля (53.11) уже является решением уравнения
Больцмана. С магнитным полем это решение получается при итерированной
подстановке правой части Bgrad*6(D в виде разложения в ряд по
возрастающим степеням В.
Пока мы не знаем структуру зоны Е (ft), мы не можем дальше
преобразовывать (53.11). Для случая свободных электронов с эффективной
массой т* суммирование проводится особенно просто. Так как v = hk/m*, то
grad* выражается через grad" и получается при обозначениях
F = grad т] + grad Г, s=-^B (53.12)
конечный результат:
бФ = 'Г^((r)-^ + (r)("Х/:') + ((r)-5)(в-/:')). (53.13)
§ 54. Вариационный метод
Когда процессы взаимодействия не позволяют выразить столк-новительный
член через время релаксации, то следующий метод часто приводит к цели.
Столкновительный член в линеаризованном выражении (52.15) может
рассматриваться как интегральный оператор, примененный к искомой функции
6Ф (ft). Если записать (отрицательный!) столкновительный член в виде
L(8Ф) или сокращенно ЬФ и левую часть уравнения Больцмана обозначить -F,
то (52.2) будет иметь вид F = L4>.
Мы построим интеграл произведения некоторой, первоначально произвольной
функции -ф (Л) и ЬФ:
^Ф) = 17мИ1/(4' *)(&!> dxr. (54.1)
Если в интеграле переставить ft и ft', то получается такое же выражение,
только с обратным знаком и с i|>(ft') под интегралом вместо (ft). Тогда
(54.1) можно записать также в виде
*)(<"(*)-
- 6Ф (ft')) (ip (ft)-1|> (ft')) dxk dxh'- (54.2)
Отсюда ясно видно, что
(г|>1Ф) = (Ф?ф). (54.3)
Кроме того, (г])?г|))-положительно определенная форма, так как У (ft',
ft) есть вероятность перехода и, следовательно, всегда положительна.
$55]
ВВЕДЕНИЕ
217
Теперь выберем г|> так, чтобы выполнялось условие ("фF) = = (г|)/д|)). В
остальном пусть т|) будет произвольно. Отсюда вытекает:
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed