Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
сферы ферми" следует, что квазичастица имеет конечное время жизни, после
которого она распадается (в рассмотренном случае на два квазиэлектрона и
одну квазидырку). Вероятность процесса сильно зависит от энергии, так как
при этом должны выполняться законы сохранения энергии Е-\-Е1 = Ег-^Ег и
импульса k-\-1г± = ~k2-^kg. Уже один закон сохранения энергии показывает,
что энергия Б, для Е = ЕР-\- ЬЕ ограничена областью 6Е ниже поверхности
Ферми, а энергии Е2 и ^-областью 8Е над поверхностью Ферми. При
уменьшении бЕ будет падать вероятность распада квазичастицы, расти время
жизни, и для 8Л = 0 время
50
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ С ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ [ГЛ. Ill
жизни будет бесконечно! Для больших 6Е, напротив, время жизни будет мало,
энергия состояния сильно увеличена из-за принципа неопределенности для
времени и энергии1). В этом случае представление о квазичастицах теряет
смысл.
В газе взаимодействующих электронов представление о квазичастицах имеет
смысл только в области, близкой к поверхности Ферми, и в ней их можно
считать практически невзаимодействующими. Сама энергия Ферми остается
неразмытой. Распределение Ферми (6.10) дает также распределение
квазиэлектронов при энергии, большей ЕР, и квазидырок при энергии,
меньшей ЕР. При этом надо отметить, чго энергия в выражении (6.10) будет
для состояний квазичастиц другая, чем для состояний свободного
электронного газа.
Время жизни элементарных возбуждений будет количественнио рассмотрено
нами в гл. XI на примере фононов.
Развитая здесь точка зрения играет важную роль в теории квантовой
жидкости Ландау, из которой и возникло представление о квазичастицах. Эта
теория, развитая Ландау для объяснения свойств 3Не и 4Не при низких
температурах, показала, что существуют взаимодействия, которые не
допускают одно-одно-значного соответствия между состояниями
невзаимодействующего газа и квантовой жидкости (сверхтекучая жидкость).
Такое вза-модействие мы рассмотрим в гл. X при описании
сверхпроводимости.
Исходя из теории Ландау, можно построить последовательную теорию газа
взаимодействующих электронов. Для ознакомления с вопросом мы рекомендуем
литературу, в особенности книги Пайнса и Нозьера [82] и Абрикосова и др.
[78].
В качестве литературы к следующим параграфам мы прежде всего укажем книгу
Пайнса [16] (также [57.1]) и изложение, у Займана [20, 2Г]. Полезны могут
быть и многие другие учебники и монографии, приведенные в литературе. Для
экспериментального доказательства существования плазмонов см., например,
Рэзер [61.38].
§ 11. Электронный газ в приближении Хартри-Фока
Уравнение Хартри -Фока (3.11), как и для невзаимодействующего
электронного газа, имеет решение в виде плоских волн
(5.4). Это сразу видно, если волновую функцию (5.4) подставить в
уравнение (3.11). Использовав оператор Гамильтона (2.7) (кон-
*) Рассуждения автора представляются мне малопонятными. Можно показать,
что время жнзнн квазиэлектрона пропорционально (k-kP)~2; см. Абрикосов и
др. [78], с. 31. (Прим. ред.)
§11] ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В ПРИБЛИЖЕНИИ XAfTPII - ФОКА 5]
тинуальная модель) и обозначение г' - г=,г", получим
(
dj" + H+ I ф=
Ex1). (11.1)
Интегралы в (11.1) могут быть легко вычислены1), если использовать
выражение
При р = 0 отсюда для фурье-преобразования кулоновского потенциала е2/г,
которое нам позднее понадобится, следует
Первый интеграл в (11.1) есть взаимодействие /-го электрона с и-1
другими, которые в нашей модели равномерно распределены в основной
области. Член Н + дает взаимодействие того же электрона с положительным
фоном (N равномерно "размазанных" положительных зарядов). Оба члена
компенсируют друг друга с точностью до пренебрежимо малого члена -
взаимодействия с отрицательным зарядом одного электрона, распределенным
по Vg. Уравнение Хартри, которое отличается только третьим членом в левой
части (11.1), приводит здесь к газу свободных электронов. Третий член,
появляющийся в приближении Хартри - Фока, напротив, описывает некоторое
взаимодействие, к которому мы теперь и обратимся. В этом члене, согласно
(11.2), нет расходимости, так как расходящийся член ft = / исключен.
Получается ряд, члены которого имеют вид const/(&A- kj)2. Этот ряд легко
суммируется. Для этого выбирается настолько большая основная область, что
суммирование по дискретным ft может быть заменено интегрированием по
сфере Ферми:
Тогда из (11.1) следует значение собственной энергии электрона с волновым
вектором ft:
(11.2)
(kF)
(11.4)
*) См. Дополнение II. (Прим. ред.)
52
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ С ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
[ГЛ. III
При этом мы еще приняли, что N/2 электронов имеют одинаково направленные
спины. Это как раз случай, когда мы полагаем, что внутри сферы Ферми
заняты все состояния, а вне -все состояния свободны.
Так как волновая функция для электронов Хартри - Фока- плоская волна, то
и здесь справедливо соотношение p = Ak. Выражение (11.4) показывает, что
энергия и импульс электрона Хартри - Фока не связаны классическим
