Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
вместо молярной концентрации с{. Далее, через ?,• обозначим химический
потенциал электронов i'-й группы, тогда условие равновесия будет иметь
вид
2^4 = 0- (6.2)
Для случая произвольной "реакции", когда электрон из группы i переходит в
группу / (бп; - - 1, 6"у = 1), будет
= для всех i и /. (6.3)
Термодинамическое равновесие будет определяться равенством химического
потенциала для всех электронов. Тогда получится
? - - шгТ- Е'~к'ткр- <6 4)
В (6.4) было использовано, что для совокупности электронов
внутренняя энергия Е равна ^га,^,-. Здесь Р - число способов
i
такого распределения электронов по группам, при котором реали-зовалось бы
определенное "распределение". Последнее определяется, заданием п,- при
заданных числе и энергии совокупности электронов. Р связано с энтропией
соотношением Больцмана S = kBln Р.
Для частиц, подчиняющихся принципу Паули, каждое состояние можег быть
занято только одной частицей. Если в каждой группе число состояний равно
г,- (в единице объема), то
Р = П?-----г, (6.5)
г (г,-nt)\riiV V !
и, применив формулу Стирлинга lnn!=nlnra - га, получаем из
(6.5) для больших Z;, га,-
ln Р = 2 (г/ In г,- - га,- In п,- - (г,- - га,) In (г,- - га,.));
(6.6)
34
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. II
отсюда из (6.4)
l = Et~kBT ln^, n^zAl + e^J . (6.7)
Уравнение (6.7) может быть использовано для вычислении свободной энергии.
Подставляя (6.7) в (6.6) и учитывая
F = E-TS = E-kBT\nP, (6.8)
получаем
F = Nt-kBT'%zi\n(eTZr+l). (6.9)
t
Теперь мы можем отказаться от искусственного разделения спектра энергий
по группам и вместо п{ и zt писать n{E)dE и z(E)dE. Тогда вместо (6.7)
получим
n(E)dE = f(E)z(E)dE, где /(?) = ( l + e1^7) . (6.10)
Этим задается концентрация электронов как функция энергии; f(E)-
вероятность заполнения (распределение Ферми), z(E)dE называется
плотностью состояний.
Плотность состояний для свободных электронов может быть получена сразу. В
^-пространстве согласно (5.4) одно состояние занимает объем {2nf/2Vg
(точнее, два состояния - объем (2я)3Д^). Плотность состояний в ^-
пространстве (число состояний Z в элементе объема (к, dk), отнесенное к
основной области) тогда будет
~Z{k)dxk = z{k)dxk=j~dxk. (6.11)
Плотность состояний в интервале энергий (Е, dE) равна объему шарового
слоя в ^-пространстве между Е +dE и Е, умноженному на число состояний:
z(E)dE = ^(2m)^EV*dE. (6.12)
На рис. 4 представлено распределение Ферми для Т = 0 и некоторой
температуры Тф 0. При Т = 0 параметр ?, до сих пор еще не определенный,
равен как раз энергии на поверхности Ферми. При Т Ф 0 параметр ?
соответствует значению Е, при котором вероятность заполнения равна 1/2.
Величина ? слабо зависит от температуры. Далее, рис. 4 показывает
концентрацию электронов при обеих температурах. При Т = 0 все электроны
имеют энергию ниже ЕР. При более высоких температурах граница между
занятыми и свободными состояниями размыта.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ И ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ
35
Интеграл от п(Е) дает полную концентрацию электронов n = N/Vg. Так как
величина N задана, то отсюда может быть определен химический потенциал ?
при заданной температуре. Использовав (6.10) и (6.12), получим f(E)*
n=n'~hF(wO' (6ЛЗ)
где
"о = |)(2 nmkBT)3/\ (6.14)
со
(6Л5)
о ~г
Здесь F(x)~ так называемый интеграл Ферми, который табулирован.
Приближения имеют вид:
F(x) " е* для х < 0 (для *< - 4 ошибка <2%),(6-16)
F (х) " для х > 0.
Лучшие приближения дают выражения
F (х) " -^-е* (1 +0,25е*)-1 (для *<1,5 ошибка <4%),
2 / яМ (6Л?)
F (*) " з-^3/2 ( 1 + (Для л: > 1,5 ошибка <1,5%).
Приближение (6.16) для *<0 соответствует замене распределения Ферми (1 +
е*)-1 на распределение Больцмана е-*, что означает пренебрежение
вырождением электронного газа. Граница между положительными и
отрицательными значениями х, следовательно и ?, есть граница между
вырожденным и невырожденным электронным газом. В качестве граничной
концентрации для ? = 0 из (6.13) получается как раз концентрация
вырождения п0 выражения (6.14).
При отсутствии вырождения (х < 0) концентрация электронов п = пв exp
(?,/kBT) и электронный газ ведет себя как газ классических частиц. В
предельном случае сильного вырождения (*> 0) концентрация электронов п
будет пропорциональна ^^.Приближение (6.16) приводит в этом случае прямо
к уравнению (5.6).
На рис. 5 показан ход интеграла Ферми и приближений (6.16) и (6.17).
Рис. 4. Распределение Ферми / (Е) и концентрация электронов п (Е)=-
=z(E)f{E) при Т = 0 и некоторой температуре Т Ф 0.
36
Электронный газ вёз взаимодействия
(тл. п
Интеграл по энергии по всем занятьш состояниям дает полную кинетическую
энергию электронного газа. Для средней энергии одного электрона при Т = 0
интегрирование по всем состояниям от ? = 0 до Е-Ер дает значение E~3/5EF.
При Т =^= 0 этот интеграл, как и интеграл Ферми, может быть взят только
приближенно. Для низких температур (сильное вырождение) достаточно
использовать первый член разложения в ряд:
2-|Е,{1 +
