Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
k > kP пусть с\ и ск, как и раньше, являются операторами рождения и
уничтожения электронов. Внутри сферы Ферми (k^ikp) пусть ск создает
дырку, а с* дырку уничтожает. Тогда
<01с10> = 1 при
= 0 при kK>kP. ( '
Выражение (11.16) может рассматриваться как матричный элемент некоторого
процесса, при котором из основного состояния в сфере Ферми образуется
дырка и потом вновь уничтожается, так что этот процесс вновь приводит к
исходному состоянию. Соответственно матричный элемент <0 | (Vv/2) e^-
vCt+^vfix | 0> описывает процессы, при которых из-за взаимодействия Vv
производятся две дырки Я и (i и уничтожаются две дырки Я - v и (л-fv. Для
того чтобы это привело обратно к основному состоянию, необходимо, чтобы v
равнялось нулю или ц, = Я- v и 0-^ = 0^,.
Такие матричные элементы входят в (11.14) в виде добавки второго члена к
энергии основного состояния. Из суммы (11.14), однако, исключен член v =
О (что означает kv = 0). Остается, таким образом, только второй случай ц,
= Я - v, сг*, = сгц, который (при пк= 1 для kKs^kF) дает
(О -у- О) 0 1.17)
а для kx> kF дает нуль. Добавка к энергии основного
состояния, получающаяся за счет второго члена в (11.14),
будет теперь
А Я = (11Л8)
Tt е ^
V.,
где второй член в правой части должен суммироваться только по k\, kn^kp.
Если еще одну сумму заменить интегрированием в ft-пространстве, то
получится
<1Ы9)
т. е. как раз сумма по всем обменным энергиям (11.4) всех электронов.
Этим показано, что добавка (11.19) как раз есть обменная энергия Харти -
Фока. Из требования въ = вц для процесса, описанного в (11.17), сразу же
следует, что эта добавка появляется только за счет взаимодействия
электронов с одинаковыми спинами.
Взаимодействия рассмотренного здесь типа между электронами и матричные
элементы могут быть чрезвычайно наглядно представлены диаграммами.
Электроны с заданным импульсом k% будут изображаться на диаграмме
сплошной линией (рис. 12, а),
56
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ С ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
[ГЛ. Ill
взаимодействие между электронами -пунктирной линией. Стрелки на сплошных
линиях указывают направление времени. Так, например, взаимодействие,
описанное в (11.14), представлено двумя линиями электронов kъ и kц, до
взаимодействия и двумя линиями электронов kx - kv и + после
взаимодействия (рис. 12, б).
К
а)
JJ, /t + v Jl+V+б
Рис. 12. Диаграммы элект-рон-электронного взаимодействия: а)
невзаимодействующего электрона с импульсом кх, б) взаимодействие между
двумя электронами, при котором происходит обмен импульсом ftv, в) два
следующие друг за другом взаимодействия б). '
К
О
О
;vfl
о
А
О
в)
5)
A-v-
о1
А
в)
Рис. 13. Добавки к энергии основного состояния:
в) (о
б) (о
V,
а) <0|с?са,|0>,
V
v v + +
о v cM'+vC|x^v
э),
О + 4-
V - О ^|X+v+(T^'|X + V^A, -V
у
'{^i j~2~ck-v С|i+vc\xcx
о).
Два процесса взаимодействия, следующие один за другим с переносом
импульсов соответственно kv и ka, описываются диаграммой рис. 12, в.
Мы используем эти диаграммы для того, чтобы на рис. 13 представить
матричные элементы (11.16) и (11.17). Для этого рассмотрим исходное и
конечное состояния, которые могут быть основными состояниями. Электронные
линии, выходящие направо, следовательно, должны быть одинаковы с
электронными линиями, входящими слева. Это изображают тем, что связывают
входящую и выходящую линии. Из рис. 12, а получается тогда замкнутая
линия рис. 13, а. Простое взаимодействие рис. 12,6 можно замкнуть, для
чего нужно связать попарно две верхние или две нижние линии или же правую
верхнюю с нижней левой или, соот-
экранирование, плазмоны
57
ветственно, верхнюю левую с нижней правой. Это как раз и будут оба
рассмотренных выше случая fcv = 0 и kv = k\ - (рис. 13, б).
Уравнение (11.17) вносит добавку к энергии основного состояния (11.14)
учетом простых процессов взаимодействия. Многократные взаимодействия
проводят к дальнейшим добавкам, которые так же легко могут быть
представлены аналогичными диаграммами. Двухкратный процесс взаимодействия
рис. 12, в, очевидно, вносит две добавки, вид которых зависит от связи
между входящими и выходящими электронными линиями (рис. 13, в). Это
соответствует возбуждению обоих электронов в более высокое состояние и их
обратному переходу в основное состояние. Добавка к энергии основного
состояния приводит здесь к произведению двух матричных элементов
(° | -у- v - a ct+ v+о°ц+v°>. - v |"') (i | -у- сх - v ct+I 0) • (П-20)
Это дает для v = - а и v-(-or = A. - ц. типичные члены от добавки второго
порядка теории возмущений, если разность энергий Е; - Е0 добавить как
знаменатель и произвести суммирование по всем (виртуальным) промежуточным
состояниям. Добавки более высоких порядков могут быть легко
сконструированы с помощью дальнейших диаграмм.
Диаграммы рис. 13 служат примерами диаграмм, имеющих многочисленные
применения в многочастичной теории. Там они служат не только для
наглядного изображения матричных элементов теории возмущений. Они играют
