Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
*) Более подробный вывод см.: Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики.-
М.: Физматгиз, 1963. Дополнение VI. (Прим. ред.)
42
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. I!
Так, из (8.3) следует:
(8.5)
X = - (з) (-I + (r)СХ \ т
х = х0-\-cost, #=r/0 + sinc),J, z = z0 + ^ t,(8.7)
где x0 = ~ fiky/m(ac и шс = eB/mc.
В (8.1) мы объединили импульс и вектор-потенциал в единый вектор Р. Если
описывать движение электрона в Р-пространстве, то и здесь мы находим из
(8.4) и (8.7) круговые орбиты на плоскости постоянной энергии, т. е.
плоскости, перпендикулярной к В. Переход к описанию в ft-пространстве
встречает затруднения: если перейти от функции Гамильтона
в (8.1) к соответст-
венному оператору Гамильтона, то Р будет оператором, компоненты которого
не коммутируют. Компоненты Р1% (которые соответствуют компонентам к при
отсутствии магнитного поля) не могут, следовательно,'служить осями
(классического) пространства для описания движения электрона. (Для более
подробного ознакомления см., например, Брауэр [9].) Для слабых магнитных
полей можно не считаться с этими возражениями и отождествить Р/Д-
пространство с к-пространством при отсутствии магнитного поля. Тогда
(8.4) вместе с (7.7) дает закон движения для ft-вектора электрона:
hk = - eE - ~vxB. (8.8)
Это как раз соо?ветствует классическому высказыванию, что
ускорение электрона (изменение классического импульса) пропорционально
лорентцевой силе при наличии электрического и магнитного полей.
Переходим теперь к решению уравнения Шредингера
( -^grad + у л)\|; =?т{>. (8.9)
Это уравнение отличается от соответствующего уравнения при отсутствии
магнитного поля тем, что в нем координата д: явно входит через вектор-
потенциал. Сделаем опять предположение о разделении переменных, при
котором множители, зависящие от у и z, остаются такими же, как и при
отсутствии магнитного поля. Для части, зависящей от х, введем пока
неизвестную функцию ф:
¦ф = е (k"y+kzZ'> ф (я). (8.10)
у = (0сх,
0,
(8.6)
§ 8]
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
43
При подстановке (8.10) в (8.9) получим для ф(д;) уравнение
-?ф-+^(*-*")> = (е-|Й)ф. (8.11,
Оно формально совпадает с уравнением Шредингера для одномерного
осциллятора, колеблющегося вокруг х0.
Собственные значения тогда, очевидно, будут
^;=^T + (v+t)K. v = 0, 1, 2, ... (8.12)
Этот результат точно совпадает с тем, который мы ожидали из классического
описания: энергия электрона составляется из энергии невозмущенного
движения в направлении г и квантованной (1) энергии осцилляторного
движения в перпердикулярной плоскости. Квантованная энергия определяется
циклической частотой юг (циклотронная частота).
Выражение (8.12) дает только ту часть энергии, которая зависит от
движения электронов. Сюда надо добавить вклад от электронных спинов. В
зависимости от направления спина надо прибавлять или вычитать величину
(g/2) [л3 В. Здесь |лв - магнетон Бора: nfl = efi/2mc = fi(dc/2B и g -
g'-фактор, который для свободных электронов равняется 2. При т* Ф т g'-
фактор может сильно отличаться от 2. Теперь (8.12) перепишется:
E± = ^- + (2v+l)liBB±fixBB. (8.13)
Рассмотрим еще вкратце изменение плотности состояний в магнитном поле.
Волновая функция (8.10) зависит от ky и kz и через ф(д:) еще раз от ky и
от v. При заданных kz и v значения ky не определены, т. е. состояние
вырождено. Так как мы должны предположить, что х0 находится в основной
области (с размерами Lx, Ly, Lz), то из-за условия - Lx/2 < х0 < LJ2
значение kv также ограничено в области между - mxocLx/2Ti и m(ocLx/2fi.
В связи с тем, что на оси ky на расстоянии 2n/Ly лежит одно состояние
(спин не принят во внимание), то г/-комдонента вектора k принимает
(Ly/2)(m(ocLx/'fi) различных значений. Далее, в интервале dkz г-
компонента вектора k может принимать (Lj2n) dkz различных значений, тогда
для плотности состояний следует (после деления на Vg~LxLyLz и введения
множителя 2 из-за спина):
z(v, k^)dkz = -~-^-dkz.
(8.14)
44
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. II
После замены kz на Е получаем для отдельной зоны с индексом v плотность
состояний
z {Е, v)d,E = (2т5)3/2 [е - (v + 4-) ^]~1/2 dE,
(8.15)
и для полной плотности состояний, которая получается суммированием по
всем отдельным состояниям, лежащим "ниже" Е,
z (Е) dE='2i z (v, Е) dE. (8.16)
Легко убедиться, что (8.16) насчитывает такое же число состояний, как и в
случае отсутствия поля, только теперь они
Рис. 7. Одномерные зоны свободного электрона .в магнитном поле по
уравнению (8.12).
Рис. 8. "^Зависимость плотности состояний от энергии для В=0 и ВфО. б)
Отношение числа состояний ниже некоторой заданной энергии в магнитном
поле к числу состояний без магнитного поля.
иначе сгруппированы. Для этого устремим В к нулю. Отдельные зоны с
разными квантовыми числами при этом все теснее сближаются друг с другом,
и суммирование в (8.16) может быть заменено интегрированием. Если
произвести такое интегрирование и перейти к предельному случаю В = 0, то
