Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
большую роль при применении методов теории поля к физике твердого тела. В
рамках настоящего изложения мы не можем на этом останавливаться и
.используем диаграммы только для наглядного изображения процессов
взаимодействий в электронном газе. Для более подробного ознакомления
рекомендуем учебники и монографии по многочастичной теории, приведенные в
литературе.
Мы здесь также не будем рассматривать добавки более высоких порядков к
энергии основного состояния. Диаграммы на рис. 13, а, б изображают
энергию основного состояния в приближении Хартри -Фока.
§ 12. Экранирование. Плазмоны
Приближение Хартри -Фока показало, что корреляцию между электронами с
одинаковыми спинами, обусловленную принципом Паули, удобно связать с
электроном и рассматривать электрон как квазичастицу, которая тащит за
собой свою обменную дырку. Этим будут изменены свойства электрона, в
особенности соотношение между его энергией и импульсом.
58
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ С ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ [ГЛ. III
В этой картине мы в явном виде исключили из описания кулоновское
взаимодействие электронов друг с другом. Теперь следует его рассмотреть
точнее.
Представим себе на минуту электронный газ в виде равномерно
распределенной плотности заряда. Если в некоторую точку г мы внесем
дополнительный отрицательный заряд, то это приведет к двойному
результату. Вследствие кулоновского отталкивания заряд будет вытесняться
из непосредственной близости к электрону, который мы себе представляем
как точечный заряд. Такая перестройка подобна возникновению
положительного заряда вокруг электрона. Это, в свою очередь, означает
экранировку заряда электрона. Перестройка, однако, будет только конечным
состоянием некоторого динамического процесса. Вначале заряженное облако
будет отталкиваться. Из-за дальнодействия кулоновского потенциала
первоначально перестройка распространится слишком далеко, затем облако
заряда вновь сократится и т. д. В электронном газе появятся коллективные
колебания, соответствующие волнам сжатия электронного газа.
Теперь мы исследуем, в какой мере эти два свойства электронного газа:
экранировка кулоновского взаимодействия единичных носителей заряда и
коллективные колебания, возникающие из-за дальнодействия кулоновского
потенциала,- могут быть явно описаны уравнением Шредингера для
взаимодействующего электронного газа. Будем исходить из функции
Гамильтона. Переход к квантовой механике мы сделаем позже. Тогда
гамильтониан
(".о
t Ф /
Явно ввести экранировку можно было бы, введя во второй член множитель
e~kc\ri~rj \ с не определенной пока константой экранирования. При этом
мы, однако, пренебрегли бы дальнодей-ствующей частью кулоновского
потенциала и должны были бы его действие исследовать отдельно. Более
удобным оказывается следующий способ. Мы запишем сначала второй член в
виде ряда Фурье:
/ {Ь " /*" . _
е2 V 1 _2яеа V V е ( ' мо о\
2 jf \П-г, \ ~ Vg k2 ' 1 '
ИФ!)
где мы вновь опустили член & = 0. Для экранированного кулоновского
потенциала здесь, по (11.2), надо было бы заменить № на k2 + k%.
Практически такой же ряд получается, однако, если сохранить (12.2), но в
сумме взять члены только с k > ke. Рис. 14
ЭКРАНИРОВАНИЕ. ПЛАЗМОНЫ
59
показывает полный кулоновский потенциал и разделение (12.2) на
короткодействующую часть (при k > kc) и дальнодействующую (при k < kc).
Это разделение оказалось разумным подходом.
Итак, в дальнейшем мы будем исходить из функции Гамильтона
"=?ts+t7L( ? + ?
i I/ \k<kc к> kc
2ле2
ift (rrrj)
ё к
(12.3)
j, а из третьей суммы
где во второй сумме мы учитываем член i вновь его исключаем.
Наряду с экранировкой мы учтем коллективные колебания, которые описывают
движение электронов в поле, созданном их собственным кулоновским
потенциалом. Это поле мы опишем вектор-потенциа-лом А(Г;), где г,- -
радиус-вектор г'-го электрона. j4(r(-) мы сразу же представим в виде ряда
Фурье:
А(г,)-_______
4яс-? •? Q*
(12.4)
при этом мы учли, что А - безвихревое поле *). Множитель перед суммой
введен для удобства. Так как А должно быть вещественным, то для
коэффициентов Фурье
(,kjk)Q*k = (- k/k) Q-fc, т. е. Q* = - (?-*. Из (12.4) следует
электрическое поле
Рис. 14. Кулоновский потенциал (1) и его разделение на короткодействующую
часть (2, k > kc) и дальнодействующую часть (3, k<kc). Для сравнения
нанесен экранированный потенциал (4) с множителем exp (- kcr) (по Хаугу
[11]).
где мы еще ввели Qk = P*k (Р* = - Pk).
г *
(12.5)
х) См. Дополнение III. (Прим. ред.)
60 йлёктронный газ с ззаимодействиём [гл. ш
Величины Qk и Рь могут рассматриваться как (канонически сопряженные)
коллективные координаты полей, описывающие кулоновское взаимодействие
электронов. Функцию Гамильтона
(12.1) мы можем выразить и через эти поля, где /?,• заменяется через
Pi + (e/c)A(rt) и член взаимодействия -через энергию
(1 /8л) ^ E2dx. После того, как мы записали все дополнительные члены в
виде рядов Фурье, мы можем объединить и обе возможности, часть k > kc
