Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
оставив без изменений, а через поля описать только часть k < kc. Это
приводит к выражению
w V 1 (~ I л/4яс2 V k г, , 2яе2 v V *г'~г^
//=Ц/''+ У тгЛ ') ^ -т*-------
I \ s k<kc / 8 ij k>kc
2п~е2 1 1 1
" it' < k,
Ш + W- 'L' (12.6)
k S It, k' < kc
Здесь последний член из-за ^ <k+k''> r dr = Vg6k, -и может быть
преобразован в \/2 2 PkPk-
k < кс
Перейдем теперь от функции Гамильтона к оператору Гамильтона и будем
рассматривать /7, и г,- и Pk и Qu как канонически сопряженные операторы,
которые удовлетворяют перестановочным соотношениям [plvrjil] = ifi8ifS^v
и [Р* Q^] = Тогда в пер-
вом члене внутри скобок выражение
р.е'* "V + eik'riPi = 2Pie(kri - Afce1^, (12.7)
и после некоторых преобразований ((л2р~4ппе2/т, п = N/Vg) получим
оператор Гамильтона
t ? Ц k>kc к>кс
+Т E'(p:p*+"W'"*-t) +
к <kt
%k
Pi~-о-
к < kc
2пе2 v'' ft*'
i--"S X (12.8)
6 *, ft' < kc i -кф k'
Прежде чем интерпретировать этот оператор Гамильтона, надо отметить еще
следующее. Введение Qk и Pk, наряду с г,- и повысило число степеней
свободы системы. Следовательно, должно существовать столько же
дополнительных условий, которые связывают оба набора координат. Сюда
можно привлечь дополни-
§12]
Экранирование, плазмоны
61
тельное условие div/? - 4пр = 0. Если мы разложим плотность заряда р
также в ряд Фурье с коэффициентами (11.11), то для каждой компоненты
Фурье этого дополнительного условия будет
Число этих уравнений как раз равно числу введенных дополнительных пар Qk,
Р/г¦ При переходе к квантовой механике (12.9) превращается в операторное
уравнение. Тогда мы должны потребовать, чтобы оператор в левой части
(12.9), примененный к волновой функции, исчезал.
Уравнение (12.8) распадается на три части. Первая строка опять дает
оператор Гамильтона для электронного газа с экранированным
взаимодействием. Вторая строка описывает коллективные колебания
электронного газа (колебания плазмы). Она имеет вид суммы по операторам
Гамильтона отдельных гармонических осцилляторов с частотой тр. Мы
определяем кванты энергии этих осцилляторов как кванты колебаний в газе,
которые будем называть плазмонами. Тогда третья и четвертая строчки дают
взаимодействие между экранированными электронами и плазмонами. Это видно
из того, что в члены третьей и четвертой строчек коллективные координаты
Qk входят наряду с координатами электронов гВ большинстве случаев членом
четвертой строчки пренебрегают. Основанием для этого является хаотическое
распределение положений электронов, так что при суммировании по гi сумма
исчезает. Это приближение носит название приближения хаотических фаз.
Рассмотрев экранированные электроны, мы получим новые квазичастицы, а
исследовав плазмоны - дальнейшие элементарные возбуждения в смысле § 1.
Свойства таких коллективных возбуждений мы рассмотрим подробнее в гл. V
на примере фононов. Дальнейшие аспекты для элементарных возбуждений и
дальнейшие соображения относительно членов взаимодействия в (12.8) мы
получим, выразив (12.8) в виде представления чисел заполнения (Приложение
А).
Сначала рассмотрим первый член. Он будет
(12.9)
AIW'C*. (12.10)
(12.11)
62
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ С ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 1ГЛ. Ill
В настоящем параграфе мы обозначили через ft состояние, включив в него
спин, поэтому сумма в (12.12) означает суммирование и по спину. Здесь и
дальше, пока спин не существен, мы не будем его записывать отдельно.
Выражение (12.12) - это оператор Гамильтона невзаимодействующего
электронного газа. Электрон-электронное взаимодействие выражается вторым
и третьим членами:
н"..= Ет?2.с"'("'г')"
1ф1
= ? FF ? <^'| (12.13)
k>kc S X'li'X (X или из-за того, что
e''(^-*-V)r'dTldTl =
= *ц-*' (12-14)
получим
Нл, 2= ? т^?с^*Ч-*с*л (12Л5>
S кц
Таким образом, //е1,2 есть энергия экранированного кулоновского
взаимодействия, описанная через единичные процессы. При этом импульс
ft |х-го электрона переносится на Х-й электрон
(уничтожение двух электронов с импульсами k^ и кх, появление
двух
электронов с импульсами ft^ + ft и ft^- ft).
Четвертый член в (12.8) мы преобразовали в Приложении А.
В этом представлении он описывает энергию (за вычетом собст-
венной энергии) газа невзаимодействующих бозонов - квантов коллективных
колебаний,- названных нами плазмонами.
В пятом члене мы согласно с (А.З) заменим Q* на
%12(лр (а* + atk). Множитель ^gk?2k-p;+ йк~^е'к'г' будет по (А.31)
V + (k'kk , й2?2\о 2м ск'ск I т + 2m/ к'к 4
и тогда
ЭКРАНИРОВАНИЕ. ПЛАЗМОНЫ
63
Электрон-плазмонное взаимодействие здесь проявляется в процессах, при
которых импульс ft переносится к электрону при поглощении плазмона (k)
(1-й член) или при испускании плазмона (-k) (2-й член). ' ^
Последним членом в (12.8) в приближении хаотических фаз мы пренебрегли.
Представление чисел заполнения придает этому
приближению новый смысл. Член 2 е1 (*+*) г' с точностью
i
до постоянного множителя дает
(ак + aU) (av + aU) ct%,ck% <Я/ | е' {1"+>1Гг' | Я,>. (12.17)
Матричный элемент опять обеспечивает сохранение импульсов (ft + ft' - ky
