Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
получится точно выражение (6.12).
Эта перегруппировка состояний может стать более наглядной при
использовании (8.12) и описании в ft-пространстве (или P/fi-
пространстве). В то время как в отсутствие магнитного поля состояния в
ft-пространстве распределены однородно, при наличии магнитного поля
состояния лежат на концентрических цилинд-
§9]
ДИА- И ПАРАМАГНЕТИЗМ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
45
рах, на которых соответственно выполняются условия для энергий (8.12).
Рис. 7-9 показывают в разных аспектах такое описание движения свободных
электронов в ^-пространстве.
JjL = 4, ВО
fia>c
Si-- 2fi0
Ьшс
Рис 9. Состояния, распределенные в отсутствие магнитного поля равномерно
в ^-пространстве, в магнитном поле лежат на концентрических цилиндрах.
Изображенные на рисунке цилиндрические поверхности содержат все вместе
такое же число состояний, как и соответствовавшая им сфера Ферми. При
слабых магнитных полях форма сферы Ферми приблизительно сохраняется. При
сильных магнитных полях появляются большие отклонения. (По Адамсу и
Холштейну. Не опубликовано.)
Для слабых магнитных полей можно пренебречь перегруппировкой состояний по
(8.13). Тогда справедливо приближение (8.8).
§ 9. Диа- и парамагнетизм свободных электронов.
Эффект де Гааза-ван Альфена
Намагничение газа свободных электронов в магнитном поле получается при
дифференцировании свободной энергии по магнитному полю: М = - dF/dB.
Свободная энергия нам известна из
(6.9), а внутренняя энергия -из (8.13). Будем, кроме того, считать, что
уровни энергии, определенные в (8.13), лежат так тесно, что суммирование
по состояниям можно заменить интегрированием по энергиям; тогда следует:
/ °° 7 ?-?+ м = - -бй?' jz(?+)ln
еквт + 1 )dE+-
Z-E-
- kBT^z{E-) 1п(еквт +l^d?_|.
(9.1)
Вычисление этих интегралов довольно сложно. Для плотности состояний надо
подставить (8.15) (исправленное на спиновое рас-
46
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
1ГЛ. II
щепление ± Цдй). Целесообразно ограничиться низкими температурами и в
разложении, аналогичном (6.18), первыми членами. Тогда следует (подробно
можно найти, например, у Вагнера [101])
, (п jtv?>
Sin -г-------РГ
V V 4 Рвв
,пНквТ
Здесь ЕР~опятъ значение ? для 7 = 0. Скобки в (9.2) содержат три члена.
Первый член происходит от спиновой части энергии ± M's#. Мы бы получили
этот член в таком же самом виде, если
Рис. 10. Спиновый парамагнетизм Паули. В магнитном поле к кинетической
энергии электрона, в зависимости от направления спина, добавляется
энергия ± \1вВ. Тогда ниже энергии Ферми Ер лежит большее число состояний
с одним направлением спина, чем с обратным. На рисунке приведены
плотности состояний, в зависимости от энергии, раздельно для обоих
направлений спина; занятые состояния заштрихованы: а) без магнитного
поля, б) смещение состояний в магнитном поле, в) занятые состояния в
магнитном поле после установления равновесия.
бы пренебрегли орбитальным квантованием электронов, т. е. в (9.1)
подставили бы плотность состояний и энергию свободных электронов без
магнитного поля. Этот вклад положителен (спиновый парамагнетизм Паули,
рис. 10).
Второй член отрицателен и составляет точно одну треть первого члена. В
приближении не слишком сильных магнитных полей он представляет собой
результат квантования орбит электронов (диамагнетизм Ландау).
Третий член - это добавочный диамагнетизм при сильных магнитных полях.
Из-за sh в знаменателе ряд настолько быстро сходится, что в большинстве
случаев достаточно рассматривать только первый член ряда. Эта часть имеет
осцилляторный характер. Намагничение (а следовательно, и магнитная
восприимчивость) осциллирует, как функция 1 /В с периодом 2цв/ЕР,
независящим QT температуры. Эти осцилляции наблюдаются только в сильных
ДИА- И ПАРАМАГНЕТИЗМ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
47
магнитных полях и при низких температурах (эффект де Гааза - ван
Альфена).
Появление эффекта де Гааза -ван Альфена легко объяснить наглядно. Пусть
ЕР^>\х,вВ (или, иначе говоря, EF^>fmc). Тогда электронный газ заполняет
множество отдельных магнитных зон. Распределение по отдельным состояниям
следует за соответствующей плотностью состояний (рис. 8) до граничной
энергии ЕР, которая должна лежать между пороговой энергией v-fln(v -1)-й
отдельных зон. С возрастающим магнитным полем, по (8.15), возрастает
энергия и число состояний в каждой отдельной зоне. Пороговая энергия
также возрастает. Поскольку общее число электронов задано, то при
увеличении магнитного поля происходит перераспределение электронов. Когда
пороговая энергия ?\, = ^v + yj h<*>c
возрастает от значения энергии, меньшего ЕР, до значения, большего Ер, то
электроны, находившиеся в v-й зоне, попадают в состояния (v-1)-й зоны.
Полная энергия уменьшается. При возрастании магнитного поля энергия
увеличивается до тех пор, пока ближайшая пороговая энергия Ziv_i не
достигнет значения Ер, Ер при этом само (слабо) периодично. Разность
между ближайшими пороговыми энергиями равна 1шс. Таким образом, условие
