Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
соотношением Е = р%12т.
Чтобы это лучше понять, рассмотрим обменную плотность заряда (3.17),
которая, по (11.1), теперь имеет вид
р Г (г, г')- f Xе
(11.5)
' k н
Заменим опять суммирование интегрированием по сфере Ферми, считая, что в
сфере Ферми каждые N/2 электронов имеют одинаково направленные спины, и
получим выражение (опять г'-г-г")
РГ (г")
2 Vc
(kFr")
у^3 {kFr" cos kFr" - sin kFr"). (11.6)
Оно зависит еще от вектора k j-го электрона. Усреднение, аналогичное
(3.19), дает наконец
9 eN (kp г cos kp г-sin kpr)*
>HF(r)
(kFr)"
(11.7)
Тогда распределение заряда, которое "видит" электрон Хартри-Фока,
р -р
HF __
eN
'" 9 (kprcos kpr-sin kpr)
. ~~Y (Vj*
(11.8)
1/2
0
Эта функция изображена на рис. 11. Вблизи наблюдаемого электрона
концентрация- электронов с одинаково направленными спинами понижена,
тогда как электроны с противоположно направленными спинами распределены
равномерно. Для выражения этого положения вещей говорят, что электрон
окружен обменной дыркой, которая имеет заряд, как раз равный -j-e. Таким
образом, принцип Паули обеспечивает корреляцию электронов с одинаково
направленными спинами.
При движении электрон остается окруженным обменной дыркой. Так как это
связано с постоянным перераспределением окружающих его электронов с
одинаковыми спинами, то?; неудивительно, что соотношение энергия -импульс
для свободного элек-
Рис. 11. Обменная дырка электрона в приближении Хартри-Фока (см. (11.8)).
§11] ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В ПРИБЛИЖЕНИИ ХАРТРИ - ФОКА 53
трона не удовлетворяется для электрона Хартри -Фока. Скобка в выражении ¦
(11.4) принимает значения от 4 (при & = 0) до 2 (при k = kP), таким
образом, второй член всегда отрицателен. Формально соотношение Е =
h2k2l2m можно сохранить, если массу электрона т заменить кажущейся массой
т*, которая в этом случае, по (11.4), зависит от k и'всегда больше т.
Инертная масса электрона стала больше из-за того, что он тащит за собой
обменную дырку. Электрон Хартри- Фока, таким образом, квазичастица
(квазиэлектрон), свойства которой определяются использованным здесь
приближением.
Обменное взаимодействие изменяет также среднюю энергию электронного газа.
При интегрировании (11.4) по сфере Ферми вклад первого члена опять как
раз равен S/-0EF (см. (6.18)). Вто-
ч г-, 3e^kp 3 пр у-,*?
рои член дает вклад ?exch =-------^f- = YEexch' где ch-значе-
ние обменной энергии на поверхности Ферми.
В § 3 мы вывели приближение Хартри -Фока из вариационного принципа для
того, чтобы получить уравнение Шредингера для одноэлектронной волновой
функции (3.7). Другой аспект этого приближения можно получить, если
записать оператор Гамильтона электронного газа со взаимодействием (3.1) в
представлении чисел заполнения, т. е. оператор
преобразовать согласно Приложению А.
Прежде чем приступить к этому, проведем другое преобразование члена
взаимодействия в (11.9), которое будет нам полезно для дальнейших
применений. Согласно (П.З)
Последний член в скобках основан на том, что при первоначальном
суммировании член с i = i' был исключен.
В сумме по k расходится член fc = 0. Однако в континуальной модели как
раз этот член надо исключить. Величина V0 представляет собственную
энергию электронного газа, которая компенсируется взаимодействием
электронов с положительным фоном и собственной энергией этого фона.
Для сумм в (11.10) чаще Есего записывают
(11.9)
И1Г { S S е" ih'ri' - N ) . (11.10)
ь V I V )
(11.11)
54 ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ С ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ [ГЛ. Ill
где пь - очевидно, k-я фурье-компонента (рассчитанная на единичный объем
Vg = \) электронной плотности п{г) - ^Ь{г - гп).
П
Тогда оператор Гамильтона запишется
<"Л2>
С к
Преобразуем теперь (11.9) или (11.12) в представление чисел заполнения.
Согласно формулам Приложения (А.31) и (А.33)
%
XX'
00'
4 У ? (*-У [ ,.Ь |' IV) (11-13)
XX' ЦЦ,'
Собственными функциями матричных элементов будут плоские волны | Я> =
(l/l/Vg) &1кк г, умноженные на спиновую функцию. Так как в оператор
Гамильтона спин не входит в явном виде, то (11.13) может быть сразу
суммировано по спинам. Из-за ортогональности спиновых функций это
дает в первом члене множитель бст ст и множитель
бст а 8СТ ст -во втором. Тогда матрич-
A V Я У JA
ные элементы определяются элементарно, и (11.13) примет вид = X
(11.14)
Ха^ Яцл>
а, о X ц,
где kx-kx, = kv {к^фО) и
г? I/ 4я е2 4я е2 /и ic\
^ = 01.15)
Ожидаемые значения энергии в основном состоянии мы получим, построив
соответствующие матричные элементы. В качестве волновой функции основного
состояния мы при этом должны использовать функцию, которая описывает
заполненную сферу Ферми радиуса kF = (3n2N/Vg)1^.
Здесь целесообразно (хотя и не необходимо) вместо того, чтобы строить
волновую функцию из вакуумного состояния посредством применения N
операторов рождения, по (А. 18) само основное состояние определить как
"вакуумное состояние" |0>. При этом только и Сц должны приобрести
несколько иной смысл. Для
§11] ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В ПРИБЛИЖЕНИИ ХАРТРИ - ФОКА 55
