Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
воспроизводит именно это состояние, так что статистический одночастичный
оператор удовлетворяет уравнению
1-е т
Pjvl~Zyy6 knT ---------------k>=-~nk\k>- (6.33)
1+е квТ
Таким образом, распределение Ферми получается как собственное значение
статистического оператора.
Способ описания с помощью статистических операторов не ограничен
описанием стационарных систем. Для систем, зависящих от времени, оператор
р удовлетворяет уравнению движения
i%p - [Я, р]. (6.34)
Пример применения этого уравнения мы рассмотрим в § 13.
§ 7. Свободные электроны в электрическом поле
Из (5.3) для ожидаемого значения импульса свободного электрона в
состоянии Е (ft) вытекает соотношение де Бройля
Р = j-<ф | grad |ср>= Aft. (7.1)
Свойство частицы-"импульс" электрона - линейно связано с волновым
свойством - "волновым вектором".
Волновая функция (5.3) есть специальное решение уравнения Шредингера. Оно
представляет собой плоскую волну, следовательно, описывает электрон с
заданным импульсом p = %k, для которого вероятность нахождения в основном
объеме везде одинакова. Для динамики свободных электронов, т. е. движения
под действием внешних сил, удобно исходить из волновых пакетов, т. е. из
наложения плоских волн. Для этого служит общее выражение для волновых
пакетов
¦ф(г, t) = y,c(k, t)q>{k, г), (7.2)
k
где соответствующий выбор амплитуд с (ft, t) ограничивает размеры
волнового пакета в малой области ft-иространства (пространства импульсов)
или геометрического пространства.
40
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ ВЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. II
Движение электрона под действием электрического поля Е = - gradcp будет
описываться движением центра тяжести волнового пакета (7.2). Для этого
надо (7.2) включить в уравнение Шредингера, зависящее от времени:
(Я0 -ecp) ф (г, t) = ihip(г, /), Н0 = - ^ А. (7.3)
Изменения координат и импульса центра тяжести волнового пакета можно
получить из квантовомеханических уравнений движения
г^Гг.Я], Р=д[Р,Я]. (7.4)
Результат этот проще получить, перейдя от оператора Гамильтона к функции
Гамильтона. Тогда классические уравнения движения описывают как раз
движение центра тяжести.
Заменим в операторе Гамильтона Я0 на E0 - p2/2m = fi2k2/2m и получим
уравнения движения
г = grad^ Я = grad^ Е0 = -jrgradкЕ0, (7.5)
р - - gradr Я = egradr ф = - еЕ. (7.6)
05а уравнения справедливы независимо от формы волнового пакета,
следовательно, они справедливы и для единичной плоской волны (c(k, i)~ =
'5fe%oei?//(l). Уравнение (7.5) есть не чго иное, как групповая скорость
волнового пакета. Из Е0 = Ь?кг/2т следует г = v = %klm~ptm. Уравнение
(7.6) показывает, что вектор k отдельной плоской волны (k=p/fi)
изменяется во времени пропорционально действующей силе:
k(t) = K-^t. (7.7)
описании ускорение электронного газа в электрическом поле представляется
как смещение сферы Ферми, как целого, в ft-пространстве в направлении
компоненты вектора k, совпадающей с направлением поля'(рис. 6).
Рис. 6. Век гор k лекгрона в электрическом поле смещается линейно во
времени в направлении электрического поля. Это означает смещение сферы
Ферми как целого. Средняя точка смещенной сферы Ферми дает среднее
значение й-вектора электронного газа: k = -eExt!%.
При вышеприведенном
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
41
§ 8. Свободные электроны в магнитном поле
Рассмотрим динамику электронного газа в постоянном магнитном поле В = (О,
О, Б). Для представления этого поля введем в дальнейшие уравнения вектор-
потенциал .4 = (О, Вх, 0). Магнитное поле, таким образом, имеет в
декартовых координатах только одну 2-компоненту, его вектор-потенциал -
только г/-ком-поненту.
Сделаем дальше два следующих шага.
Первым шагом будет дополнение к предыдущему параграфу. В нем мы описывали
движение электрона в электрическом поле как изменение во времени
состояний в ft-пространстве. Зависимость ft-вектора от времени
описывается уравнением (7.7). В первую очередь мы спрашиваем, какие
дополнения надо внести в эту картину, если к электрическому полю
добавлено магнитное поле. При этом положим, что и в магнитном поле
электрон в каждый момент времени описывается тремя квантовыми числами kh
т. е. имеет определенное квантовое состояние в ^-пространстве.
Второй шаг состоит в подтверждении этого предположения, что делается с
помощью решения уравнения Шредингера для электрона в магнитном поле. При
этом мы увидим, что картина меняющихся ft-состояний хотя и является
наглядным пояснением движения электронов в совместном электрическом и
магнитном нолях, но справедлива только для слабых магнитных полей.
Функция Гамильтона при этом будет (электрическое поле мы пока не
принимаем во внимание)
н = ш{р+тАУ~^гг- <8-'>
и, согласно (7.5) и (7.6), уравнения движения будут1)
r = gradp# = -^, (8.2)
- gradr# = - |гх В-~А (8.3)
или
р = - ±.+хВ. (8.4)
Из этих уравнений сразу же вытекает, что в плоскости ху элект-
рон описывает круговые орбиты, тогда как в направлении г, т. е. в
направлении магнитного поля, его движение не изменяется.
