Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маделунг О. -> "Теория твердого тела" -> 14

Теория твердого тела - Маделунг О.

Маделунг О. Теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 418 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 160 >> Следующая

Av
г
§ 5]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
31
Величина kF определяется тем, что по (5.5) каждой Л-точке соответствует
объем (2яY/V п ^-пространстве. Объем сферы Ферми,
Тогда электроны на поверхности сферы Ферми имеют энергию
где п - концентрация электронов N/Vg в основной области.
Возбуждение электрона в состояние с более высокой энергией приводит к его
выходу из сферы Ферми. Если электронному газу сообщить тепловую энергию,
то это приведет к размытию гра-
реходить, заштрихованы.
Таким образом, основное состояние ферми-газа - это полностью заполненная
электронами сфера Ферми. Возбужденные состояния могут наступать, когда
отдельные электроны поднимаются из одночастичного состояния ка (k0 ^ kF)
в более высокое состояние к (k>kF). Обозначим к - ?0 = х. Возможные
возбуждения ограничены тем, что должны быть выполнены оба условия k0 ^ и
k > kP, вытекающие из принципа Паули. Из рис. 2 видно,
следовательно, равен таких объемов. Из этого условия
следует:
(5.6)
= ^(3я ".п)*/",
(5.7)
ницы между занятыми и свободными состояниями, т. е. сфе-
ронов по возможным состояниям системы определяется в этом слу*
F чае статистикой. Этот вопрос мы
обсудим в следующем параграфе.
ЕМ
Е(кг)
I___I
О 12 3 4
х[кР
Рис. 2. Переходы электронов из сферы Ферми при заданном добавочном
импульсе и. Области внутри сферы Ферми, из которых могут осуществляться
переходы, и области вне сферы Ферми, в которые электроны могут пе-
Рис. 3. Связь между энергией и импульсом при возбуждении электронно-
дырочных пар в электронном газе. Между энергией и импульсом нет
однозначной связи (заштрихо-
ванная область).
32
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. II
что тут надо различать два случая. Для х < 2kP может быть возбужден не
каждый электрон; это значит, что не все ?0 + х лежат вне сферы Ферми. Для
х > 2kP любое k0 будет приводить к выходу из сферы. Возможные конечные
состояния лежат выше энергии основного состояния на конечную величину,
минимально равную энергии (&72/я) (x + &f)2 -При заданном \х\
максимальная энергия, переносимая в обоих случаях, равна Ъ? (х + kryi2m -
fl2kp/2m.' Для каждого и, следовательно, имеется ограниченная область
энергий возбуждения (рис. 3).
Такое положение вещей можно выразить еще другим способом: электрон в
квантовом состоянии к (и с заданным спином) имеет энергию E-fi2k2/2m,
импульс fik и скорость Ш/т. В основном состоянии вся сфера Ферми
заполнена и для каждого заполненного состояния k имеется заполненное
состояние - к. Полный импульс и скорость центра тяжести всей системы,
таким образом, равны нулю. Если удалить из сферы Ферми один электрон в
состояние k > kF, то это ппиведет к двойному результату. Электрон
приобретает импульс %к (не скомпенсированный никаким другим электроном).
В сфере Ферми, кроме того, появляется нескомпенсиро-ванный электрон в
состоянии -kQ. Переносимый им импульс равен -%кп. Общее изменение
импульса, таким образом, равно %(k - k0) = fv*. Это соответствует
изменению энергии Е (и) = ¦=%(№ - kl)l2m. Мы будем называть основное
состояние "вакуумом" системы. Рассмотренные состояния возбуждения теперь
могут быть описаны как результат образования электрона вне сферы Ферми и
"дырки" внутри нее. Энергия пары электрон-дырка (т. е. минимальная
энергия возбуждения пары) есть Е (и), а соответственный импульс - fix. Из
рис. З видно, что для этих состояний возбуждения нет однозначного
соотношения между энергией и импульсом. Для каждого возможного значения
импульса имеется конечная область возможных значений энергии.
§ 6. Распределение Ферми и плотность состояний
Рассмотрим теперь ферми-газ при некоторой температуре, выше абсолютного
нуля. В этом случае будут заполнены некоторые состояния выше kF и
свободны некоторые состояния, более низкие чем кР. Распределение
электронов по состояниям в Аг-про-странстве задается запасом энергии
электронного газа. При изменении температуры некоторые электроны перейдут
в состояния большей (или меньшей) энергии. Устанавливается новое
состояние равновесия. Нас здесь, .идаересуе^ только, состояние
равновесия, а не процесс его установления.
В 1химической термодинамике условие равновесия в смеси различных
компонент формулируется так: в состоянии равновесия, при постоянной
температуре и постоянном объеме, виртуаль-
§ 6] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ И ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ 33
ное изменение свободной энергии равно нулю. При этих условиях изменение
свободной энергии возможно только при реакции между компонентами. Условие
равновесия в этом случае имеет вид
^ = 2М^- = о. (6.1)
где с{- молярные концентрации смеси, [г, - соответственные химические
потенциалы. Это уравнение мы легко можем применить в нашем случае. Для
этого рассмотрим произвольное распределение электронов по энергетическим
состояниям. Соберем по группам электроны с (почти) одинаковыми энергиями,
т. е. с энергиями, лежащими в интервале (Е, dE). Пусть концентрация
электронов i-и группы будет га, (?,•). Величины п,- теперь появляются
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed