Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
сил.
Мы здесь еще не можем оценить границы применимости такой модели (для
этого см. § 23 и 24). Однако два примера мы все же можем привести:
электроны проводимости в одновалентных металлах и во многих
полупроводниках. Значения эффективных масс для металлов несколько выше
массы свободного электрона (Na: 1,22/л; Li: 2,3т). У полупроводников они
могут быть существенно меньше т (InSb: 0,01/л). В другом отношении,
однако, электронный газ в двух приведенных примерах существенно
отличается один от другого. В полупроводниках концентрация электронов
проводимости так мала, что они ведут себя как газ невзаимодействующих
частиц и подчиняются классической статистике Больцмана. Электронный же
газ в металлах "вырожден". Из-за высокой концентрации электронного газа
при расчете числа
§5]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
29
состояний, заполненных электронами, надо учитывать принцип Паули и,
следовательно, пользоваться статистикой Ферми. К этому мы перейдем в двух
следующих параграфах.
§ 5 посвящен обсуждению собственных значений и собственных функций для
невзаимодействующего электронного газа. В нем мы рассмотрим, используя
принцип Паули, также заполнение этих собственных состояний электронами,
распределение электронов в основном состоянии и наиболее низкие
возбужденные состояния.
§ 6 посвящен статистике Ферми, которая дает распределение электронов по
возможным состояниям при заданной температуре. Динамика электронного
газа, движение электронов под действием внешнего электрического или
магнитного поля, будет обсуждена в § 7 и 8. Диа- и парамагнетизм
свободных электронов являются темой § 9.
При этом в некоторых местах окажется возможным сравнение с экспериментом
(теплоемкость электронного газа, эффект де Гааза -ван Альфена). В
следующих главах мы также возвратимся к этой модели, так, в гл. VIII при
рассмотрении явлений переноса (теория электропроводности Друде, Лорентца,
Зоммер-фельда, соотношение Видемана -Франца и др.), в гл. IX при
рассмотрении оптических явлений (поглощение свободными носителями,
циклотронный резонанс).
Настоящую главу мы используем главным образом, чтобы ввести ряд основных
положений, которые важны при всяком однОэлектронном приближении: fe-
пространство, плотность состояний, сфера Ферми, возбуждение пар и т. д.
§ 5. Энергетические состояния
После того как мы пренебрегли всеми взаимодействиями, оператор Гамильтона
(2.7) превращается в оператор только кинетической энергии и уравнение
Шредингера будет
ЕЙф=-а1;д/ф-Е(r)- <5-'>
/ /
Волновые функции Ф здесь надо брать либо в виде подходящих комбинаций
одночастичных волновых функций, или как произведение (3.2) таких функций,
или в виде определителя Слэте-ра (3.7). Так как оператор Гамильтона не
содержит спина в явном виде, то одночастичные функции могут быть
представлены как произведение функции, зависящей от координат, ф(г)
и спиновой функции. Представим энергию Е в (5.1) в виде
суммы энер-
гий электронов Ef,-тогда (5.1) распадается на одноэлектронные уравнения
~ 1йа/Мг)=Я/Фу(г)" (5-2)
30
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. II
в которые войдут уже только функции '<ру- (г). Спин мы введем позднее с
помощью принципа Паули. Дальше мы будем заниматься только уравнением
(5.2), поэтому отбросим индекс / и в дальнейшем Е, в противоположность
(5.1), будет означать энергию одного электрона; (5.2) имеет решение
"р(гНе'*Л Е = ||2. (5.3)
Функции ф здесь еще не нормированы. Электронный газ удобно ограничить
определенным объемом Vg (основная область). Пусть эта основная область
будет параллелепипедом с ребрами Lx, Ly и Lz. В качестве граничных
условий выберем циклические условия Борна-Кармана: ф {х + Ьх, у, z) =
q>(x, y + Ly, z) = q>(x,y, z-\-Lz) = у(х, у, z). Эти граничные условия
облегчают математическое рассмотрение. При достаточно большой основной
области они не влияют на физические результаты.
Из условий нормировки следует:
ф(г)=7^ейг' (5'4^
а для компонент к следует из граничных условий:
и 2я ,.
К ? ? ^ Т1{ (I х, у, Z,
п, -целые числа), (5.5)
где k; (которые в (5.3) имели смысл только констант разделения), теперь
могут быть определены как квантовые числа, задающие состояние электрона
наряду со спином; Аг-век-торы в уравнении (5.3) могут, по (5.5), быть
представлены в виде точечной решетки в ^-пространстве. Каждой Аг-точке
соответствуют два одночастичных состояния с противоположными спинами.
Каждое состояние, по принципу Паули, может быть занято одним электроном.
Пусть число электронов в основной области N. Состояние наименьшей энергии
электронного газа (основное состояние) тогда будет описываться тем, что
N/2 Л-точек наиболее низких энергий будет занято двумя электронами каждая
(рис. 1). В ?-про-странстве эти точки заполнят шар с радиусом kF {сфера
Ферми).
Рис. 1. Сфера Ферми радиуса kp в ^-пространстве. Каждый элемент объема
размером (2я)3/Кг содержит два состояния. При Т = 0 эти состояния внутри
сферы Ферми заняты электронами с противоположно направленными спинами.
