Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Т=2|/-f- F-^(/1 (F), /2 (F), /3 (F); 0x)f. (4)
Сказанное может быть повторено и для адиабатического процесса, если
вместо (2) ввести в рассмотрение удельную запасенную внутреннюю энергию
a(VR; Т1Х) = р0 [е (VR; г)х) - е (Е; т]х)]. (5)
Конечно, в формулах (3) и (4) теперь придется заменить
о о
3(VR; 0х) на э (VR; цх). Можно их записать и в виде
Р = э0 , Т = 2 )/-J-VRt.3g.VR = 2 ]/-j-F-3F (6)
Vr
не забывая, что одно и то же обозначение э сохранено для двух отличных
друг от друга величин. Например, в линейной теории упругости отличают
адиабатические модули упругости (получаемые из представления э по (5)
через внутреннюю энергию) от изотермических (определяемых по свободной
энергии). Аналогичное более сложное рассмотрение распространимо и в
нелинейной теории.
§8]
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
421
Очевидно, что напряженные состояния (если исключить динамические задачи в
адиабатическом процессе), определяемые по заданию запасенной свободной
или внутренней энергий, не могут отличаться друг от друга-они
разыскиваются из тождественных уравнений равновесия и краевых условий; в
формулировках тех и других нет упоминания о тепловых величинах (0Х или
и*).
Итак, применение принципов термодинамики позволило доказать существование
"потенциалов напряжений" ("запасенных энергий") в изотермическом и
адиабатическом процессах.
Теория упругости может строиться, однако, и без введения подобных
величин, т. е. как чисто механическая дисциплина, вообще не входящая в
рассмотрение тепловых процессов. Эта точка зрения и проводилась в
предшествующем изложении, как разъяснялось в начале гл. 4 (§ 1).
Приложения
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Содержание "Приложений" ограничено необходимыми для изложения механики
сплошной среды сведениями о правилах и приемах применения тензорного
исчисления в трехмерном евклидовом пространстве (в <§%). Обозначения,
отличающиеся некоторым своеобразием, согласованы с основным текстом.
Преимущественно используются "прямые", а не индексные обозначения
тензорных величин; этим формулам и теоремам механики придается краткость
и выразительность, утрачиваемые в индексных записях. Переход к последним
требует лишь навыков в элементарных алгебраических преобразованиях. Опыт
преподавания позволяет констатировать отсутствие здесь каких-либо
затруднений.
Предполагается, что читатель владеет первоначальными сведениями об
операциях векторной алгебры и анализа и о действиях над матрицами.
Подчеркнем еще, что "Приложения" ни в какой мере не претендуют заменить
систематические курсы тензорного анализа, скорее они имеют целью избавить
читателя от постоянных ссылок на них.
Приложения нумеруются римскими цифрами, главы основного текста-
арабскими. Эти разделы разбиваются на параграфы (§), последние часто на
пункты (1, 2 и т. д.). В параграфах принята порядковая нумерация формул.
При ссылке на формулу данного параграфа указывается номер формулы, а на
формулу из другого параграфа той же главы - его номер и номер формулы.
Номера главы, параграфа и формулы указываются в ссылках на формулы в
предшествующих главах.
Приложение I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Векторные базисы
Векторный базис образуется тремя не расположенными в одной плоскости
(некомпланарными) векторами гь г2, г3. Ортонормированный триэдр, когда он
понадобится по ходу изложения, образуется векторами ix, i2, i3 (i^• i* =
0 при s 7- k, ij-i^ = 1).
Объем v параллелепипеда, построенного на базисных векторах, представ
ляется выражением *)
t1 = Г] • (г2 Хг3) = г2-(г3ХГ]) = r3-(rxX r2). (1)
Взаимный векторный базис определяется тройкой векторов
г1 = - r2 X г3, г2 = - г3Хгь г3 = -ггХг2, (2)
v v v
*) Скалярное и векторное произведения векторов а, b обозначаются а-Ь,
aXb.
§1]
ВЕКТОРНЫЕ БАЗИСЫ
423
перпендикулярных соответствующим плоскостям векторов основного базиса. Из
этого определения следует
три s ф k,
Г-Тк-
( 0 п
I 1 П
при s = k
(3)
(б|-символ Кронекера). Принимаются обозначения скалярных произведений
векторов основного и взаимного базиса
- Ssk - §ks>
rs.rk =
crSft - I
rs-rk = bk =
Легко проверяется, что векторы основного базиса представляются через
векторы взаимного формулами
Г1 = ПГ2ХГ3, Г2 = УГ3ХГх, г3 = ог1Хг2.
(4)
рез
(5)
Действительно,
о (г2 X г3) = - (г3 Хг])Х(г1Хг2) = - [¦ (г3 X rj) - • (r3 X п)] = гх.
Другие представления г3 через тк и обратно даются формулами
giHrk,
'gsk Гй
(6)
В них, как и во всем последующем, опущен знак суммирования по
повторяющемуся верхнему и нижнему индексу ("немому" индексу). Формулы
(6), непосредственно проверяемые по (3) и (4),
Ts-Tt = gsbrt-Tk = gs4k=gSt, Ts-Tt = gskTk-Tt=gst
представляют простейший пример операций подъема и опускания индексов с
помощью величин gsk, gsk.
В ортонормированном базисе г^, конечно, отпадает отличие между основным и
взаимным базисами; но с целью сохранить правило суммирования в принятой
формулировке векторы этого базиса иногда обозначаются if. Например,
представление вектора а в ортонормированном базисе иногда записывается в
