Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(2.3.1) -краевое условие (уравнение равновесия на поверхности) для Т.
Преобразование Гаусса -Остроградского позволяет теперь представить (5) и
(4) в виде
"=SSS(pr-v,h)^* (?)
у
*-$SS<T"D-V. h + pr)dV.
(8)
408 УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ [ГЛ. я
Принимается, что внутренняя энергия - аддитивная функции массы, иначе
говоря,
*=Шр<?л'=Шр0<?л', <?=SSSpo^&== 555 p^f (д)
V v v V
- через е обозначена внутренняя энергия, отнесенная к единице массы-
удельная внутренняя энергия. Теперь (8) приводится к виду
555 (ре - ТD-fV h - pr)dV = 0. (10)
г
Это-первый принцип термодинамики, представленный в интегральной форме.
Его дифференциальная форма выражает условие обращения в нуль
подынтегрального выражения, так как объем V может быть назначен
произвольно:
ре-Т- -D + V-h - pr = 0. (11)
Записав выражение поступающего в единицу времени в объем тепла через его
поверхность в виде [см. (1.6.5)]
jjqdO=-|Jn-1ic10=- jj j/^y-n-VrT-hdo =
= - J fn-hdo = - f j fv-hdw (12)
О V
0
мы вводим в рассмотрение вектор h
h= j/yVr.h, (13)
выражаемый через h точно так же, как тензор Пиола выражен
о
через тензор напряжений Коши [см. (2.7.2)]. Можно назвать h - вектором
Пиола теплового потока. Обратившись теперь к выражениям первого принципа
термодинамики в интегральной и дифференциальной формах и сославшись на
представление (2.7.14) мощности через тензор Пиола, приходим к записям
этого принципа в отсчетной конфигурации
Ш (Р"е -р- • VvT-f V• h - p0r)cfo = 0, (14)
V
0 0 0
р0е -Р--VvT -V-h -р0г = 0. (15)
§ 2. Второй принцип термодинамики
Для механики сплошной среды температура -первичное понятие. Можно
довольствоваться его словесным определением "степень нагретости",
например, и указанием способов измерения.
§3l * СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ 409
Важно отметить, что определено наименьшее значение температуры, которой в
шкале Кельвина приписывается значение 0 = 0, так что всегда 0 > 0.
Второй принцип термодинамики связан с понятием энтропии. Материальная
производная по времени энтропии, поступающей в объем V от внешних
источников тепла, определяется (подобно (1.5)) выражением
V О V о
Внутренняя энтропия в объеме V, обозначаемая Н, представляет аддитивную
функцию массы и выражается через удельную энтропию т] (относимую к
единице массы) формулой
(2)
v v
Из большого числа формулировок (неравнозначных друг другу) второго
принципа термодинамики, следуя Трусделлу, мы остановимся на неравенстве
Клаузиуса -Дюгема
V о
выражающем, что внутренняя энтропия в объеме не убывает. Процесс со
знаком равенства называется обратимым, неравенства - необратимым.
В другой записи после преобразования поверхностного интеграла в объемный
О V V
неравенству Клаузиуса-Дюгема придается вид
OTi(p0n-F + V-h-h-Vln0)^^°, (4)
v
а в дифференциальной форме
р0г| - (pr - V • h)-h-Vln0^O. (5)
§ 3. Свободная энергия. Диссипативное неравенство
Из неравенства (2.5), дающего представление второго принципа
термодинамики в дифференциальной форме, исключим с по-
мощью этой же формы первого принципа слагаемое
pr - V-h,
410
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
[ГЛ. 9
определяемое подаваемым в объем V извне теплом. Приходим к неравенству
р0г]-рё + Т--D-h-Vlne^O, (1)
преобразуемому после замены
р0П = р (0г|)' - p0ri
к виду
Т- • D - р (е - 0ri)- - рбг] - h-Vln0^O. (2)
Сюда в рассмотрение оказалась включенной величина
/ = е -0т], (3)
называемая удельной свободной энергией или термодинамическим потенциалом
Гельмгольца. Второй принцип термодинамики оказался представленным теперь
в форме "диссипативного неравенства"
Т--D -p(f + 0ri)-h-Vlne>O. (4)
Входящие в него слагаемые
Ф = Т. -D - р (f + (5)
определяют "удельную диссипативную функцию", называемую еще "удельной
диссипацией (рассеянием) энергии". Среды, в которых ф = 0, к ним, как
увидим, относится упругий материал, называются недиссипативными. В них по
(4)
h-Vln0 = ^-h-V0<O. (6)
Смысл этого неравенства становится ясным, если вспомнить условие о знаке
(1.6) и что 0 > 0. Оно выражает, что вектор V0, направленный по нормали к
изотермической поверхности в сторону возрастания 0, составляет угол не
меньший 90° с вектором теплового потока h -тепло распространяется в
сторону падения температуры. Это заключение может и не выполняться при
положительной диссипации (ф > 0); тогда нельзя исключить возможности
неравенства знака, противоположного (6): "не исключено, что при
надлежащих условиях вода поднимается по склону горы".
Выражение первого принципа термодинамики через свободную энергию
приводится-по (1.11), (3) и (5) к виду
p0r| = T- -D -р (/ + 0т]) + р/- -У-Ь = ф + рг -V-h. (7)
В недиссипативных средах (ф = 0) это соотношение представляет уравнение
распространения тепла (теплопроводности)
р0 г) = pr - V-h.
(8)
§4) ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 411
В отсчетной конфигурации вышеприведенные формулы приобретают вид: первый
и соответственно второй принципы термодинамики
. о . оо
ро0т] = Р- -VvT -ро(/ + 0т]) + рог-V-h, (9)
Р- • VvT-р0 (f-f r|0) -h-V In 0 ^ 0, (10)
