Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
VR X
(2)
Параметрически она войдет и в уравнения движения, решаемые теперь вне
связи с тепловыми процессами.
Другой предельный случай-теплоизолированный объем. По (1.5), (1.6) в этом
предположении
г-0, q = 0, h = 0. (3) |
Этим определяется адиабатический процесс. В недиссипативных средах первый
принцип термодинамики приводит по (4. (5) к уравнению
rl = |) + v'V'n'
выражающему постоянство энтропии вдоль траектории материальной частицы.
По (2.2) отсюда следует, что Н = 0, внутренняя энтропия Н в объеме V
сохраняет постоянное значение, неравенство Клаузиуса-Дюгема обращается в
равенство. Адиабатический процесс в недиссипативной среде, в частности в
упругом материале, обратим. Тензор Пиола и температура определяются по
заданию внутренней энергии e(vR; г|) соотношениями (5.4). Задача сводится
к рассмотрению уравнений движе-
(о \
ния (2.3.5), в которых тензор напряжений TyVR; ту определен уравнением
(5.6) совместно с (4). Распределение температуры в объеме К и по времени
находится после того как задача решена. В статических задачах осложнений
нет. Механическая задача отделяется от тепловой, энтропия войдет в
уравнения равновесия, как постоянный параметр.
Условия (3) при г0 и (4) выполняются согласно (6.5) в средах с исчезающе
малой теплопроводностью k¦-*0. Идеализированные процессы-изотермический и
адиабатический -предполагают прямо противоположные свойства материалов-
бесконечно большую и бесконечно малую теплопроводность. Это делает
приемлемым взгляд, что изучение деформирования в этих идеализированных
процессах указывает некоторые пределы, в которых происходит
деформирование реальных материалов с конечной теплопроводностью.
§8l
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
419
§ 8. Уравнения термоупругости
Свойства упругого материала задаются функциональной зависимостью
свободной энергии от градиента деформации и температуры или внутренней
энергии от градиента деформации и энтропии; должен быть задан также
коэффициент (тензор) теплопроводности, зависящий от градиента деформации,
температуры и ее градиента. Задаются массовые силы и сообщаемое тепло от
внешних источников за счет лучеиспускания. Самыми различными могут быть
задания на поверхности тела (краевые условия), бесполезно перечислять все
их возможные сочетания. В динамических задачах должны быть сформулированы
также начальные условия.
Независимых переменных четыре-три материальных координаты q1, q2, q3 и
время t. Конечная цель - определение вектор-радиуса места R и температуры
0 (или энтропии г)), как функций этих переменных. Если она достигнута, то
найдено напряженное состояние и энтропия (или температура).
Сказанное помечает такую последовательность действий:
а) По заданию свободной энергии с помощью формул (4.10), (4.11)
составляются выражения тензора Пиола и энтропии или тензора Коши по
(4.13).
б) Подстановка этих выражений в уравнения движения (2.3.5) приводит к
системе трех дифференциальных уравнений для компонент вектора перемещений
u = R- г - к аналогу "уравнений в перемещениях" линейной теории. Высший
порядок входящих в них производных по времени и координатам - второй.
в) К этой системе уравнений движения добавляется уравнение
теплопроводности (6.9). Конечно, эта же последовательность сохраняется,
если исходят из задания внутренней энергии е\ используются формулы (5.4)
или (5.6).
Исключая тривиальные случаи, сформулированная динамическая задача
неприступна не только математически; трудность заключается в скудности
надежно проверенных экспериментальных сведений, могущих подтвердить или
отвергнуть приемлемость принятых зависимостей термодинамического
потенциала от мер деформации и температуры (или энтропии) и еще менее
коэффициента (в общем случае тензора) теплопроводности от его аргументов.
Эти же трудности сохраняются и в статических задачах термоупругости, хотя
математическая задача упрощается. Механическая и тепловая задача остаются
неразделенными. Динамическая задача в изотермическом материале (в
изотермическом процессе) упрощается, так как из рассмотрения выпадает
уравнение теплопроводности, а температура входит в выражение свободной
энергии и далее в уравнения движения, как постоянный параметр. В
адиабатическом процессе этого упро-
14*
420
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
[ГЛ. 9
щения нет, уравнения движения должны рассматриваться совместно с
уравнением (7.4), выражающим постоянство энтропии вдоль траектории
частицы.
В изотермическом процессе, сославшись на (4.10) и (2.7.5), имеем
Р- • SVRT = р0/ (vR; 0х)о • -6VRT= Ро8/ (vR; 0Х) = 6'aie) (1)
VR
- удельная элементарная работа равна вариации свободной энергии.
Обозначением
5 (VR; 0Х) = р0 [f (VR; 0Х) _/ (Е; 0Х)] (2)
определяется равная нулю в отсчетной конфигурации (что впрочем
несущественно) величина, называемая удельной запасенной свободной
энергией этого процесса. Повторяя вышеприведенные записи, имеем
Р = э (VR; 0Х)О = 2э (G; 0x)G-VR,
Vr
Т=2 |/|-VRT.a(G; 0x)g-VR (3)
или в изотропном упругом теле
