Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (4.11) при условии
(1)
однозначно разрешимо относительно 0
(2)
0 (VR; Ti)+/(VR; 0 (vR; ti))=e(?R; ц).
(3)
о
ференцируя (3) no VR и tj, имеем
- здесь использовано соотношение (3.11).
Пришли к соотношениям
(5)
§6] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 415
Поэтому, повторив ранее сказанное, можно представить теперь тензор
напряжений Коши, энергетический тензор и температуру выражениями
Т = 2pVRT-e(G; t])g-VR, TV = 2pe(G; r])G,
0 = ^e(G;ri). (б)
В изотропной упругой среде, когда за отсчетную конфигурацию принято
неискаженное состояние материала, / и е представимы через меру деформации
Фингера F
f (G; 9) = f (0х • F • Охт; 0) = f (F; 0), е (G; х\) = е (F; ц), (7)
так как / и е в этом предположении - изотропные скаляры
[см. (II.5.30)].
Но по (II.3.6)
/о = 2VR • fF,
VR
так что по (4.10), (4), (2.7.3) получаем
Т = 2pF • fF , T = 2pF • . (8)
Здесь / и е- функции инвариантов Iк (F) = Ik (G).
В представлениях свободной и внутренней энергий принималось, что материал
однороден, его свойства, единообразные во всем объеме, не зависят явно от
материальных координат. Учесть неоднородность можно внесением в выражения
(4.1) и (5) вектора места r(g\ q2, q3) в отсчетной конфигурации. Это не
изменило бы формы полученных зависимостей, но осложнило их содержание.
§ 6. Уравнение теплопроводности
о
Предполагается возможность представления вектора h суммой вида
0/0 0\0/0 \ 0/0 0\0 h (,VR; 0, V0j = ho(VR; 0, oJ_k(?R, 0; V0J.V0,
(1)
в которой первое слагаемое не зависит от градиента темпера-о
туры V0, второе определяет вектор, представимый произведением
о о
тензора второго ранга К на градиент температуры V0 и обращающийся в нуль
вместе с последним.
Неравенство (4.7) теперь дает
00 00 00/0 0\0
h-V0 = h"-V0-V0-K VVR; 0, V0j-V0^O (2)
416 УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ [ГЛ. 3
О
и наличие в его левой части слагаемого, линейного по V0, позволяет, как
объяснялось ранее, придать ей любой знак. Поэтому
О О 0/0 ОАО ООО.
h0 = 0, h = - К (VR, 0, V0;.V0, V0-K-V0>O. (3)
о
Построенная по тензору К квадратичная форма неотрицательна,
о
иначе говоря, тензор К, представляющий тензор теплопроводности среды,
неотрицателен.
В изотропном для тепловых процессов материале, когда от-счетная
конфигурация является неискаженным состоянием, о
тензор К -шаровой
К = Е/г, ?>0, h = - k\Q, (4)
k - коэффициент теплопроводности, по (3)-неотрицательный,
о
Далее мы ограничимся этим представлением К.
Уравнение теплопроводности (3.12) теперь приобретает вид
Po01Q= Por + V-&V0- (5)
В привычной записи используется понятие теплоемкости х - тепла,
расходуемого для повышения температуры единицы массы на один градус
х = (ае)г- (6)
Индексом Г указывается, что величина отнесена к некоторому
"термодинамическому пути" материальной частицы. Необходимость такого
определения объясняется тем, что величина бq - не полный дифференциал.
Обобщением понятий теплоемкости газа при постоянном объеме и при
постоянном давлении являются теплоемкости твердого тела при неизменной
деформации и при неизменном напряженном состоянии.
Обратившись к (1.7) и (4.15), можно записать соотношения
(5)г-"(3)г- <7!
По.(4.11)
л- Ч (vr; в) . (|)r = (x..w)r + §. (8,
Первое слагаемое справа в этом соотношении отпадает при
неизменной деформации (vR-постоянно). По (6) и (4.11) получаем
Х_0*!__0.Ё!/ [9)
к-идВ~~ дб2 ( '
§7] ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ И АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕССЫ 417
- выражение теплоемкости при неизменной деформации. Теперь в левой части
(5)
т1==|ё+>1ок-^уТ==|х0+1^-"Уут
и уравнению теплопроводности придается вид
ар 0 0 0
Ро*е=Ро /-+eg-.vvT + v^v0. (Ю)
В статических задачах (vvT = о) приходим к хорошо известному уравнению
Фурье
pox'0 = por + V.?V0. (11)
Предположив, что соотношение (4.10) разрешено относи-о
тельно VR, имеем
VR = VR(P; 0),
о
-З-n ..^BI-З (121
+ ае +ае' ( '
VR
fdn\ дг)
dW"
<зе l дв v
когда процесс происходит при неизменном напряженном состоя-
0
нии (при постоянном Р). Вместе с тем VR и 0-независимые переменные в
представлении свободной энергии и по (4.10), (4.11)
п =_да --If --L&
'о [dejo дв'° ~ о0 дв ¦
VR 4 VR VR 0
По (12) и (9) приходим к выражению теплоемкости v! при неизменном
напряженном состоянии
о
1 n dP dvRT /104
к = и-------------0^ц---35-. (13)
Ро <50 00 ' '
§ 7. Изотермический и адиабатический процессы
Изотермическим называется Процесс с неизменной во всем объеме и в любой
момент времени температурой
0 = 0Х = const. (1)
Такой идеализированный процесс приближенно реализуется в среде с весьма
большой теплопроводностью, когда приемлемо Предположить, что всякая
неоднородность поля температуры
без промедления и в любом месте ликвидируется возникающим
тепловым потоком.
^ А. И. Лурье
418
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
[ГЛ. 9
В изотермическом процессе уравнение теплопроводности выпадает из
рассмотрения, температура входит в выражение свободной энергии и тензора
Пиола (или тензора напряжений Коши), как постоянный параметр вх. По
(4.10), (4.11)
f = f(yR; 0Х), P-pJo (VR;0X), ri = --^-/(vR; 0Х).
