Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 122

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 158 >> Следующая

Здесь одной физической величине (вектору а) сопоставляется другая (вектор
Ь), поэтому следует считать объект Q величиной, наделенной физическим
содержанием. Для задания Q в основном и взаимном базисах используются его
ковариантные (qsk), контравариантные (qsk) или смешанные контрако- (^д,)
и коконтравариантные q'sk компоненты. Но тензор Q - не матрица его
компонент, величины которых зависят от назначения базисов, а
инвариантная, физическая величина. Инвариантный и не связанный с базисом
смысл имеет запись (5).
Введенные в § 3 и здесь определения вектора и тензора второго ранга
должно дополнить рассмотрением, при каких условиях тройка наперед
заданных чисел (as или as) или девять чисел (qsk или qsk, или q*k, q'k)
действительно определяют независящий от назначения базиса объект (вектор,
тензор). Иначе говоря, требуется установить правила преобразования этих
чисел при переходе от базиса, в котором они предположены заданными, к
новому базису. Об этом см. § 7.
Аналогично (5) определяется умножение Q на а слева; им задается отличный
от b вектор
с = а ¦ Q = а • qstrsr* = qstrias = (Г V-а. (6)
Переставив местами в (4) базисные векторы, приходим к транспонированному
тензору, обозначаемому QT
QT= <7sf"V = qstrtrs = q*krkrs = qfrkrs. (7)
§43
ТЕНЗОР ВТОРОГО РАНГА
427
Его As-компонента равна sA-компоненте Q. По (5)
b = Q-a = a-QT (8)
и этим правилом дается независимое от выбора базиса определение QT.
Формулы связи между компонентами тензора различных наименований следуют
из (4) и (1.6). Например,
Q = qSkrsrk = qskgsm*mgknr"=qskgsmgknrmrn = qmnrm "v
Получаем соотношения вида
qmn = qSkgsmgkn=q'sngsrn> qmn= clskgsmg:" = qs.ngsm (9)
и т. Д. -снова те же правила "игры" индексов.
Компоненты тензора представимы также формулами вида
r5-Q-r t = qSb rs-Q-rf ^=qst,
H-Q-r * = <&, r,.Q.r k = q-k. (10)
Диада векторов. Это - простейший пример тензора второго ранга,
образуемого по двум векторам; их диада обозначается ab (часто а(у)Ь). Ее
произведение на вектор с справа (слева) определяет вектор ab-c (вектор c-
ab). Представления диады через базисные диады и правило транспонирования
даются формулами
a.b = asbkrsrk = asbkrsrk - asbkrsrk = aSb/;rsrk, (ab)T=ba. (11)
Формулы (4) представляют тензор суммой девяти базисных диад, умножаемых
на соответствующую компоненту.
Единичный тензор Е. Это-тензор, произведение которого на вектор а справа
или слева равно этому вектору а
Е-а = а-Е = а. (12)
Из этого определения и формул (8) и (10) следует, что
Е = ЕТ, fS-E .Tt=gsk, iyE-Tk^-gsk, rs-E-Tk = gk~~b%. (13)
Диадные представления единичного тензора по (4) записываются в видах
Е = gskrsrk =gskrsrk=gsk vsrk = 6skrsrk = rsrs = r*r*, (14)
так что gsk, gsfr, b% - компоненты единичного тензора. Формула (2.5) для
квадрата длины отрезка позволяет назвать единичный тензор метрическим.
Симметричным называют тензор, равный своему транспонированному
Q = QT. qsk = qks> qsk = qks, q*k = q-* = q\ (15)
(нет нужды указывать, с какого места поднят индекс). Для симметричного
тензора
Q = QT: Q-a = aQ. (16)
Простейшие примеры: диада аа, единичный тензор Е.
Кососимметричный тензор определяется условием
QT = - Q, qks = -Qsk, qks^-qsk, qsk==-qf, (17)
его диагональные компоненты равны нулю. Матрица компонент симметричного
тензора задается шестью, кососимметричного-тремя компонентами. Тензор Q
428
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
может быть представлен разбиением на симметричную и кососимметричную
части
Q = y (Q+QT)+y(Q-QT)-S+?i, S = ST = 1(Q + QT),
?2=у (Q -QT) = - ?iT. (18)
Для экономии места здесь не были упомянуты очевидные предложения, что
умножение тензора на число (скаляр) представляет тензор с компонентами,
равными произведению на это число компонент тензора, что сумма тензоров
также тензор с компонентами, равными сумме компонент слагаемых тензоров.
Возвращаясь к формулам (4) и (5), запишем выражение скалярного
произведения
c-b = b- C"C-Q-a-a-QT-c = qskcsafi (19)
- билинейная форма компонент векторов а и с, образуемая матрицей компо.
нент Q, инвариантна-ее численное значение . не зависит от выбора базиса.
Инвариантна также квадратичная форма компонент а
9^й^а^ = а-0-а = а-0т-а. (20)
В этом равенстве содержится еще одно определение симметричного тензора
второго ранга-физической величины, с помощью которой вектору а
сопоставляется инвариантная квадратичная форма его компонент. Заданием
квадратичной формы определяется только симметричная часть S тензора Q,
так как по (18)
a*?i-a = a-?iT-a = - а- ?}-а = 0.
§ 5. Определитель тензора
По формулам (4.9)
II Qst II=J Q'smgmt [| = [I qmtgsrn I; II qst II = [| qs.mgmt ||=| qigms
j|;
о (1.9), (1.11) и по правилу умножения определителей
\qst\=g\qmt\=g\q-sm\, l?'5fl=yKm|=yK|- (1)
Определителем det Q тензора Q называют определитель его смешанных
компонент
det Q= | qsj | = | Я'* | = j \qst I =g \ qst \ = det QT. (2)
В формуле (2.5) возьмем одно из шести размещений индексов тпр, например
123; придем к равенству
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed