Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 125

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 158 >> Следующая

- повторены формулы (7.3) в применении к ортогональному преобразованию.
Инварианты ортогонального тензора (тензора поворота), определяемые по
(7.6), (7.12), (12), (5) и (7), оказываются равными
MO) = rrr"=o?s, /2(0) = /3(0)/1(0т) = /1(0), /"(0) = 1. (15)
434
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
При повороте вокруг оси i3 декартовой системы осей на угол ш
ii = l1cos 0)-j-ia sin со, i2 = -sin со -j- i2 cos со, 13 = i3
и no (12)
0 = ii (*1 c°s co + h sin (o) + i2 (- ix sin to + i2 cos to) + i3i3 =
= (11*1+1212) cos co+(ixi2 -i2ix) sin co + i3i3 =
= E cos ш + i3i3 (1 -cos со) - EXi3 sin со,
так что независимо от выбора векторного базиса, назвав е единичный вектор
оси поворота, приходим к инвариантному определению тензора поворота
О = Е cos со + ее (1 -cos м) + еХЕ sin со, (16)
содержащему лишь задания угла и оси поворота. Из него следует
МО) = /2 (О) = 1+2 cos со, - 1 < /] (О) < 3. (17)
По (14) и (6)
rts=qkr°W=<!кЛ=яЧк' л (Q')=/i (Q).
Но инварианты /2 (Q'), 13 (СГ) представимы через + (Q'ft), так что
hm = IkW (ft-1,2,3). (18)
Верно и обратное: при равенстве всех трех инвариантов двух
симметричные
тензоров (/* (Р) = (Q), k=i,2, 3) существует ортогональное
преобразование,
связывающее эти тензоры (P = Q') [См. § 10].
§ 9. Главные оси, главные значения тензора второго ранга
По заданному тензору второго ранга Q определяются векторы храняющие
направления в их произведениях на Q справа и слева
(+е = Яе, ех*0 = Я><ех, здесь Я, Ях- подлежащие определению скаляры. В
другой записи (Q-ЯЕ)-е = 0, ex.(Q-ЯхЕ) = 0.
Заменив здесь Q его диадным представлением через смешанные компоненты,
приходим к системам линейных однородных уравнений
(qj - 6JX) ef = 0 (qS't - d*\x)ef = 0 (3)
относительно неизвестных et, е*; нетривиальные решения этих систем
существуют при равенстве нулю определителей
|^-б)Я| = 0, j q*t - 6*Ях [ - 0, (4)
откуда следует, что Я = Ях. Полином третьей степени по Я
"57" (Я) =3 det (Q-ЯЕ) = | -6fA, I (5)
называется определяющим или характеристическим полиномом тензора, а
уравнение ^7(Я) = 0-его определяющим или характеристическим уравнением.
Корни Ях, Я2, Я3 называют главными (или собственными) значениями тензора
Q.
е, ех, си (1)
(2!
ГЛАВНЫЕ ОСИ, ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕНЗОРА
435
Развернутое представление определяющего полинома имеет'вид
9 ft 9.2, - 9.23 U- >-3 + ?'2(9.1I + 9f2-L9f3) -
с? (X) = det (Q_XE)=
9s, О 93-^i
9.1 ' • 2 т.З |
- Х [(9.*i9.22 - 9.*29\) + (9л?;\ -9f;^3,) + (9!з9\ -9.\9.*3) ] + det Q =
>.*4- /i (Q) я.*-/2 (Q)-| /,(Q). (6)
Здесь использованы представления инвариантов (7.6), (7.8), (7.10). Этим
доказана инвариантность главных значений X,, Х2, Х3 тензора - подобно
инвариантам lk (Q) они сохраняют независящие от выбора векторного базиса
значения. Известно, что полином (X.) представим через его корни
5* (М ^ 0*1 (^2 (Ь,- 9.) =- - X3 -j- X2 (Xj-j-Хз + Хз) -
-X (XiX2-f-X2X3-f-ХэЯ^Х^^э. (7)
Сравнение с (6) определяет инварианты тензора через его собственные
значения l\ (Q) = Xx-|-X2 + X3, /2 (Q) = XjX2-f-Х2Х3 X3Xj, /3 (Q) =
XjX2X3. (8)
Очевидно, что Xs-также собственные значения QT. Правые и левый усобст-
венный" векторы тензора Q, обозначаемые eft, е*, соответствующие
собственному значению Хк, определяются по (1) уравнениями
Q-ek = %k4, e^.Q = Xfee*. (9)
Здесь нет суммирования по k *). Компоненты этих векторов - нетривиальные
решения уравнений (2), в которых X (или Хх) заменены на X*. Общий
множитель, входящий в их выражение, может быть определен условием
ел-е-5= 1 (s= 1, 2, 3). (10)
Вместе с тем
e^-Q-е^^Х^е' -е*, es.Q.e* -Х^е5-е?,, (Xft -Xs) &-е*^0
и при Xs ф Xfc (предполагается, если ис оговорено противное, что корни
определяющего полинома - простые) получаем
е5 • е/г - 8| (И)
- векторные базисы е,,, е-5 взаимны; поэтому
ое1 = е2Хег, ое2 = е3Хеь ее3 = ед Хе2, п = е1-(е2Хе3). (12)
Сказанное имеет пока формальное значение, так как в числе корней полинома
S* (X) может оказаться пара комплексных сопряженных Хг, Х2 = Х; им
соответствуют пары векторсв также комплексно сопряженных (е2 = ех, е2 =
е1), что следует из (3), поскольку компоненты Q вещественны.
В базисах е3, es тензор Е представйм по (4.14) выражением
Е = е3е^ -e3eJ = e1e1-'-e2e2 -e3e3 = e1e1-f-e2e2 + e3e3 (13)
*) Индекс, входящий в левую и правую части равенств (9), не является,
конечно, немым.
436
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
И ПО (1)
3
Q = E-Q = QE = 2 ^е^^е^ + ^е^ + Хдезе3,
QT= 2 V4 = V^i-f V2e2 + A3e3e3.
S= 1
Была бы неуместна запись А^е^, так как правило предполагает суммирование
по двум индексам.
При det Q Ф 0 в числе корней полинома 53 (А) нет равного нулю. Это
позволяет сразу же составить выражение обратного тензора Q-1. Имеем
Q-1-Q = E, Q"1-Q-eJ = E-e^ = ei,
з
Q 1 * А^е^е^' ~ Q 1 '- e^, Q 1 • e5 = As e^
ft=i
- главные значения обратного тензора равны обратным значениям главных
значений тензора, а собственные векторы Q и Q-1 совпадают
1 1 1 3 0"1 = -?7е1е1+-5Ге,е* + -геае" = ? АГЧе*. (15)
1 2 3 S=1
Непосредственно по (14) имеем также
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed