Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 121

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 158 >> Следующая

видах
a = a-siJ = a,sif.
Здесь, конечно, as=as. В применении к базисным векторам эта запись
приобретает вид
rs - psifci H =
так что
gst - rs' rf - PsPfmlfc' Н
= Pspfft.
(7)
(8)
Записывая теперь v2 в форме произведения определителей
Pll Pl2 Pl3
Р21 Р22 Р2 3
Рз1 Рз2 Рзз
1 pi 2 Pi 3 pi
1 P2 2 P2 3 p2 •
1 рз 2 Рз 3 рз
k k k
Pi Pife Plp2ft PiP3ft
k k k
P2plS P2 P2k P2p3ft
k k k
рзрх* Рз p2ft рзрз/г
no (8) получаем
§11 §12 g 13
§21 g 22 §23
g 31 §3 2 §33
= l§rtl> & = rj-(r2xr 3)=Vg-
(9)
По (6) и (7)
Ts = gskTk = gsbgkiTt' r.s. rm = tfm = gskgkttfm = gs'!gkm
424
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
- матрицы \\gsk\\ и Ugftmll - обратные, их произведение представляет
единичную диагональную матрицу ]| 6т ||
II gsk 1Ы1 gkm || = || Sm II-
Иначе говоря, gsk равно алгебраическому дополнению элемента gsh
определителя Igjftl, деленному на этот определитель. Вместе с тем
| gsk\=g-l' (Ю)
§ 2. Символ Леви-Чивита
Формулы (1.1) и им аналогичные, получаемые по (1*5), можно записать в
виде
Vr'iei" = iV(rAXrt), --esb^rs-^Xr*). (1)
V g
Величины е5м, eskt равны нулю, если в числе индексов skt имеются
повторяющиеся, они равны 1 для последовательности индексов 123 и
получающихся из нее круговой перестановкой последовательностей 231, 312;
они равны - 1 при нарушении этсго порядка (для последовательностей 213,
132,321). При обозначениях
skt _
V g
pSkt
приходим к записям
^skt - Ts'(rkXTf),
?skt
-- rs-(rkxrf),
:kts_
r*xrf = e
Возвращаясь к (1.7), имеем соотношения
rkXTt = 6шгХ
(2)
(3)
(4)
r? = psifc, г4"гя = 8Г = psif pfi* =
k m
- ps pk "
позволяющие представить eskt?mnp в виде esktemnp = Ts- (rkXrt) r".(r"Xrf-
) =
Ps1 Ps ps
Pft pi pf
12 3
Pt p* pt
I rP1 Pi
m Р2 m Рз q tn Ps P<? q n PsPq PsP q
P2 n Рз = q m P kPq q n PkP q Pip q
pi Рз pK Q n PtPq PtPPq
так что
: skt
?mnp .
8f 8f 6 f
6? 6? б I flg 8? 6?
Отсюда приходим к "правилам свертывания" - формулам для сумм
eSktesnp=3 (e*6?-6ge?)-6| (8sn8f-8sp8?) +
+ 6? (6?6g - 8р8*) = 6g8f - 8?Sg
и далее
eskt&skp = 26p"
с pSkt skt
6.
(5)
(6)
(7)
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕКТОРА В БАЗИСАХ
425
Теперь по (4) получаем
гйХг*е^те = 6* ^ktmrs ~ 26mrj = 2rm, откуда следуют обращения формул (4)
rm = jei(/xr<, r- = le""r*xr,. (8)
§ 3. Представления вектора в основном и взаимном базисах
Термину "вектор" теперь часто придается смысл совокупности п чисел,
называемых его компонентами - "вектор обобщенных координат" (qv q2, ...,
qn). В этой книге "вектору" придается его общеизвестный смысл-это
определенная в трехмерном евклидовом пространстве физическая величина,
задаваемая ее численным значением (модуль вектора) и направлением; таковы
скорость, сила и т. д. Выбор базиса определяет компоненты вектора, их
численные значения; конечно, не сам вектор, различны в различных базисах.
Представления вектора в основном и взаимном базисах имеют вид
a = afrJ = air*. (1)
Величины as называются ковариантными, as - контравариантными компонентами
вектора а. По (1.3)
ал = а-г^, а5 = а-г*, (2)
так что а* (а5) равно произведению | | = Уgss (| г51 = на
проекцию а
по направлению вектора основного базиса (взаимного базиса г4). Можно
иначе: а-диагональ параллелепипеда с ребрами as У gss (as У gss),
имеющими направления по г* (по rs).
Формулы связи между ко- и контравариантными компонентами имеют вид
as^gskak, as = gskak (3)
- здесь опять узнается операция опускания и подъема индексов. Эти
формулы
следуют из (1) и (2)
а. !¦*•= ак = asrs• г* = gskas, а-гк = ак = ases¦ гк = gskas.
Скалярное произведение двух векторов представляется в виде a-b = asrs •
Ь*г* = gshasbk = asrs-bkrk = asbhgsk = asrs-bkTk = a*bkbk = asbs. (4)
В частности, квадрат модуля вектора равен
a? = a-a = asas = gskasak = gskasak. (5)
Векторное произведение по (2.4) представляется выражениями с = аХ b =
asbkesktri - asbkesktrt, ct = asbkeski, ct = asbkeskt.
Как пример, приведем преобразование
ах (Ь х с) = at6 W х е , kqr4 = atb4ke^meskqTm =
= atbsckTm {b?bk - Ьк 6s) = Ь*г3а^-сктксцЬ* = ba-с - са- Ь,
что и требуется.
Проверим еще соотношение
rJtXrJI = 0.
426
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Действительно, по (2.8) r*Xrs = i- rsX(rkxrt) = y еШ (№~Wrt) =
= ^(e'*-e"W=e"W~0)
так как gsk = gks> но etks = ~ekts.
§ 4. Тензор второго ранга
Рассматривается преобразование тройки величин ak (матрицы столбца, с
помощью умножения ее слева на квадратную матрицу qsk в тройку bs (матрицу
строки)
bs = Qskak (s= 1, 2, 3). (1)
Приняв, что ак - контра-, a bs ковариаптные компоненты векторов а и Ь,
можно записать соотношения (1) в виде
b = qskahs = qskrsvk-a.. (2)
Эквивалентные записи сопоставления вектору а вектора b можно получить,
используя другие представления их компонент
bs = qskak, b = qskrsrk-a-,
ь = <7?Аг*г*-а, b = ?;Viva. (3)
Величиной
Q = 4skrsrk = qskrsrk = q%rsrk = qfr*rk, (4)
называемой тензором второго ранга, задается преобразование вектора в
вектор, записываемое в форме произведения справа тензора на вектор
b = Q-a. (5)
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed