Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
выражение диссипативной функции и уравнение распространения тепла в
недиссипативных средах
ф = р. .Vvr- po(/ + 0ri), (11)
po0V=Pc/-V-h. (12)
§ 4. Термодинамические потенциалы. Определяющие величины
Применение принципов термодинамики в механике сплошной среды требует
заданий одного из термодинамических потенциалов-свободной или внутренней
энергии, а также вектора теплового потока в зависимости от определяющих
движение среды и тепловых процессов в ней величин. Без этого дальнейшее
продвижение бесперспективно, подобно тому как "бесполезен" закон Ньютона
mb = f, если ничего неизвестно о зависимости силы f от места точки в
силовом поле, скорости, времени.
Ограничиваясь рассмотрением простого упругого материала й считая его
однородным, примем, что величинами, задающими его состояние
(определяющими параметрами), являются градиент о о
места VR, температура 0 и ее градиент V0. Свободная энергия /
о
и вектор теплового потока h задаются, как материально индифферентные
функции этих параметров
/ 0 0 \ 00/0 0 \
/=/(VR; 0, V0J, h = h (VR; 0, V0y, (1)
иначе говоря, преобразуемые при переходе от "нештрихованной" актуальной
конфигурации к "штрихованной" по закону
/(VR-O; 0, V0)=/(VR; 0, V(c)); 0/0 0 \ 0 / 0 0 \ h ( VR-O; 0, V0j=h(VR; 0,
V0).
Здесь, чтобы упростить дальнейшее построение, эти задания представлены в
отсчетной конфигурации. Сами определяющие параметры-шскомые функции
координат и времени, хотя многое
412 УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ [ГЛ. ч
о
о чем говорится далее, сохраняет свое значение, когда / и h - I
функционалы над предысторией среды.
Задача состоит в определении по заданиям (1) уравнений состояния-
функциональных зависимостей тензора Пиола Р и о о
энтропии г| от VR, 0, V0
Р = Р (VR; 0, V0), п = г) (VR; 0, V(c)), (3)
удовлетворяющих принципу материальной индифферентности J
/О 0 \ /0 0 \
Р yVR- О; 0, V0j = P(VR; 0, V0J,
/О О \ / о 0 \
tj^VR-O; 0, V0у = г| VVR; 0, V0J. (4)
Это достигается применением второго принципа термодинамики J в форме
диссипативного неравенства (3.9). Входящая в него производная свободной
энергии по времени по (1) представляется согласно (1.10.7) выражением
;=/0 •'•vvt+|в+Л-.{щ)\ (5) ¦
VR Зуб J
Исключение / из (3.10) приводит теперь к неравенству
/р-рв/0 у.?ут-ро(|+л)ё+-|-.(?0)'-н.?1П0^о. (61
V Vr / 4 Зуб
Но линейному относительно переменных х, у, z неравенству Ах + By -j- Cz +
D ^ 0
(в нем А, В, С, D от этих переменных не зависят) можно удовлетворить лишь
при условиях
Л = 0, В = 0, С = 0, 0
- в противном случае, задав л:, у, г надлежащие значения,
можно было бы левой части неравенства придать любой знак.
Роль переменных х, у, г в неравенстве (4.4.6) отходит
о . / о \ .
к VvT, 0, vV0^ ; коэффициенты в нем по (1) от этих
величин
не зависят. Итак,
Р = Ро/о . 4 = -S, -^=0, -h-Vln0^O. (7)
VR Зуб
Эти фундаментальные результаты нельзя получить из рассмотре- , ния
первого принципа (3.9)-в его выражение входит величина
§ 4] ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 4)3
О о
p0r-V-h, определяемая подаваемым извне в объем V теплом, которой можно
придать любой знак.
Следствием (7) является недиссипативность простого упругого материала.
Действительно, по (3.11) и (5)
9 = Po(/oR"VvT + |e-/)^°. (8)
Подтверждаются неравенство (3.6) и запись уравнения теплопроводности
в форме (3.12). Свободная энергия оказалась неза-
висящей от градиента температуры
-f- = 0, / = /(?R; б), (9)
дуб
так что от него не зависят Р и г|
P = p0/(VR; б)0 , (10)
V R
T1 = -|/(VR; 0). (11)
0
По (2) и заменив VR его полярным представлением, имеем
/(?R; в) = / (vR-O; в) ==/(U-0x-0; 0) = /(U; 0) = /(G;0).
(12)
Здесь принято 0Х-0 = Е и повторено преобразование (3.2.9);
сохранив для свободной энергии обозначение /, имеем теперь по (10) и
(II.3.5)
Р = Ро/ (G; 9)о = 2Ро/ (G; 0)G • VR
VR
и по (2.7.3), (2.7.11) приходим к представлению тензора напряжений Коши и
энергетического тензора
T = 2pVRr-/G-VR, Tv = 2p/G, (13)
так как р0 Y 1=р. в этих обозначениях, вместо (11), имеем
Л = -^/(0, 0). (14)
Уравнению теплопроводности (3.12) по (1.13), (1.7.3) при-
дается вид
ре ¦л=рг Y ~Ьv- Y "f VrT'h==pr-r's'VrT^=p/'-R9^
и как следовало ожидать
р0т]= рг-V-h. (15)
414
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТЙ
tf Л. 9
Здесь h-вектор теплового потока. Но вектор Пиола тепло-о
вого потока h удовлетворяет требованию индифферентности; поэтому,
воспроизведя преобразование (12), имеем по (1.13)
Вместе с тем (4.11) позволяет назвать-f производящей функцией
преобразования Лежандра 0-^г|. Производящая функция обратного
преобразования т]-*0, согласно известному правилу, представляется
выражением
Им в соответствии с (3.3) определяется внутренняя энергия, представленная
через градиент деформации и энтропию. Диф-
которыми, конечно, подтверждаются свойства преобразования Лежандра.
Задание внутренней энергии должно быть материально индифферентным-
удовлетворять функциональному соотношению вида (4.4.1)
(16)
§ 5. Представления через удельную внутреннюю энергию
