Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
наблюдаемой величиной, в общем виде невозможно *). Пример с оператором az
в предыдущем разделе является лишь частным и весьма простым случаем,
когда доказательство полноты системы собственных векторов оказалось
возможным. Поэтому в дальнейшем мы всегда будем предполагать, что если
некоторая величина может быть измерена, то это значит, что ее собственные
кет-векторы образуют полную систему собственных векторов.
Предположение о полноте системы собственных векторов для реально
измеряемой величины позволяет разложить произвольное состояние системы по
собственным кет-векторам оператора L. В частпом случае оператора az мы
получили такое разложение в формуле (1.41). Более из-
*) Существует, однако, теорема о спектральном разложении, которая говорит
о том, что каждый "разумный" эрмитов оператор может быть разложен на
проекции так же, как это сделано в соотношении (1.45) (см. [2], стр.
260). Другие операторы нас пе интересуют.
1.7] НАБЛЮДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. 6-ФУНКЦИЯ ДИРАКА 45
вестным примером полноты некоторого класса функций является пример с
разложением периодических функций в ряды Фурье по синусам и косинусам. По
отношению к этому классу функций ряд синусов и косинусов образует полную
систему функций. Мы подробно рассмотрим этот пример несколько позднее. В
случае дискретных собственных значений наблюдаемой величины система
собственных кет-векторов {|Z)} является полной системой, и поэтому любой
кет-вектор | ф> можно разложить по собственным кет-векторам:
1Ф> = 2Сг1г>' (1-46'
1
где суммирование распространяется на весь интервал тех значений, которые
может принимать величина I. Этот интервал может быть конечным, как это
было в случае (1.41) с оператором a z, или бесконечным, как это имеет
место в случае гармонического осциллятора, который будет рассмотрен в гл.
II. С помощью соотношения ортонормировки
(1.35) мы можем получить выражения для коэффициентов Ci, которые
могут быть, вообще говоря, комплексными числами. Для этого мы умножим обе
стороны выражения (1.46) слева на собственный бра-вектор | и, используя
соотношение (1.35), получим
<г | ф> = ^ ci <i' | ь = 2 сА /' = с''• (!-47)
I I
Если выражение для коэффициентов сг из последнего соотношения подставить
в разложение (1.46), то получим произвольный кет-вектор | ф> в виде
разложения
= (1-48) i
по собственным кет-векторам оператора L, соответствующего некоторой
наблюдаемой величине L. В силу произвольности кет-вектора | ф)
соотношение (1.48) может выполняться тогда и только тогда, когда
(1.49)
46
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. 1
Последнее выражение и дает соотношение полноты, или замкнутости, для
системы с дискретным спектром собственных значений. Пример аналогичного
соотношения для оператора 02 был дай в предыдущем разделе (см. (1.43)).
В целях иллюстрации соотношения ортонормировки
(1.35) и разложений (1.46) и (1.48), а также для того, чтобы ввести
8-функцию Дирака, которая нам понадобится в дальнейшем, рассмотрим задачу
о разложении некоторой непрерывной функции / (х) по полной системе
собственных функций вида
ип (X) = -e2ninxix", п = 0, 1, i 2, ... (1.50)
Если бы любая непрерывная функция могла быть разложена в ряд по функциям
{ип (х)}, то можно было бы сказать, что система функций {ип (х)} является
полной системой по отношению к классу непрерывных функций. Из вида
функций ип (х) мы сразу находим, что ип (х + х0 ) = = ип (х), так что
каждый член ряда является периодической функцией с периодом х0. В силу
этого непрерывная функция / (х) может быть разложена по функциям ип (х)
только тогда, когда эта функция сама является периодической функцией с
периодом х0. Поэтому система функций {ип (х)} является полной по
отношению к классу непрерывных периодических функций с периодом х0, и,
следовательно, любая такая функция / (х) может быть представлена в виде
(Следует заметить, что в такой же ряд могут быть разложены и функции из
более общего класса функций, но мы не стремимся к строгости и всеобщности
наших рассуждений.) Разложение (1.51) аналогично разложению (1.46).
Соотношения ортонормировки в данном случае принимают форму
V Хо
СО
f(x)= 2 спип И-
(1.51)
(1.52)
о
что аналогично соотношению (1.35) для кет-векторов
1.7]
НАБЛЮДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. 6-ФУНКЦИЯ ДИРАКА 47
Для того чтобы определить коэффициенты сп в разло-
и проинтегрируем по х от х = 0 до х - х0. Получим
При этом мы использовали соотношения (1.52). Последнее равенство в (1.53)
аналогично соотношению (1.47) для кет-векторов. (Предполагается, что
существует интеграл для величины сП' и что в выражении (1.53) можно
менять местами суммирование и интегрирование.) Если мы подставим
выражение (1.53) в формулу (1.51) и снова поменяем местами суммирование и
интегрирование (хотя это и не всегда законно), то получим
Это выражение аналогично соотношению (1.48) для кет-векторов. Для
получения в данном случае соотношения, аналогичного соотношению полноты
(1.49) в случае дискретного спектра, необходимо ввести понятие б-функции
