Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
<?" |, а равенства (1.29) - на вектор | Г) и вычтем одно из другого, то
получим
(V - Г) <Г Ю =0.
Так как по предположению Г =f= V, то <Г | V) =0. Теорема доказана.
Из соотношений (1.28) и (1.29) следует, что собственные значения,
соответствующие собственным кет-векторам | Z), являются теми же самыми,
что и собственные значения для соответствующих бра-векторов {I |.
Во многих случаях решение задачи на собственные значения является
достаточно сложным. Для того чтобы проиллюстрировать метод решения, решим
одну очень простую задачу.(В последней главе будет рассмотрена физи-
1.0]
ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
39
ческа я система, которая соответствует как раз этому примеру. В данный же
момент мы рассмотрим этот простой случай лишь как простой математический
пример.)
Рассмотрим линейный эрмитов оператор oz, который удовлетворяет
дополнительному условию
а\=1, (1.30)
где I - оператор тождественного преобразования, и решим задачу на
собственные значения для оператора oz:
oz | s> =s | s). (1.31)
В силу теоремы 1 величина s вещественна, а в силу теоремы 2 величина (s'
| s"> == 0, если s' =/= s".
Для того чтобы найти собственные значения и собственные векторы оператора
аг, умножим обе части равенства (1.31) слева на a z. Используя
соотношения (1.30) и (1.31), получим
а\ | s) = | s> = saz | s> = s2 | s>,
или
(s2 - 1) I s > = 0.
Если мы образуем скалярное произведение этого выражения на вектор <s |,
то в силу того, что величина <s ] s) )> 0, мы получим следующие
собственные значения оператора аг:
s = -1-1.
По предположению в системе нет никакого вырождения, и поэтому в данном
случае двум собственным значениям соответствуют только два собственных
кет-вектора. Поэтому мы можем записать соотношение (1.31) в виде
аг | + 1> = + 1 I + 1>, ст2 | - 1> = - 1 ! - 1>. (1.32)
В силу теоремы 2
< + 1 | - 1> =0 = <-1 | + 1>. (1.33)
Последние соотношения являются как раз соотношениями ортогональности,
которым подчиняются собственные векторы, принадлежащие различным
собственным значениям.
Как мы уже знаем, любой собственный кет-вектор, умноженный на постоянную,
также является собственным
40
дираковская Формулировка
[ГЛ. I
кет-вектором, принадлежащим тому же самому собственному значению. Поэтому
мы можем выбрать постоянную так, чтобы норма собственных векторов
равнялась единице (ибо норма ограничена) и написать
Соотношения (1.34) являются условиями нормировки. Условие нормировки еще
не определяет достаточно точно и однозначно единственный кет-вектор,
Действительно, мы все еще можем умножить состояние | + 1} на ехр (га),
причем состояние < + 1 | будет при этом умножаться на ехр (- га), где а -
вещественная величина, и в результате соотношение (1.34) останется без
изменения. Такой фазовый сдвиг не имеет в теории никакого физического
смысла, и поэтому мы будем обычно полагать а = 0.
В любой задаче па собственные значения собственные векторы всегда могут
быть нормированы на единицу при условии, что норма этих векторов конечна.
В результате этого условия (1.33) и (1.34) могут быть объединены в единое
условие ортонормировки:
где б ij - символ Кронекера, который определяется такв
Как мы увидим чуть ниже, эти результаты могут быть обобщены и на тот
случай, когда собственные векторы имеют бесконечную норму.
Забегая несколько вперед, мы покажем теперь, что оператор (У z может быть
представлен в виде матрицы с двумя столбцами и двумя строками:
Для того чтобы показать это, образуем скалярные произведения обоих
уравнений (1.32) на состояния <-f- 1 ( и <- 1 | соответственно. Если
использовать условия (1.33) и (1.34), то получим так называемые
"матричные
<+ 1 | + 1> =<- 1 | _ 1> =1. (1.34)
(1.35)
если i = /, если i Ф j.
(1.36)
1 о
5г= 0 -1
(1.37)
1.6]
ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 41
элементы" оператора a z:
< + l|orz| + l)= + l, < + 1 | crz | - 1) = 0,
Теперь мы можем сгруппировать эти результаты в матрицу, подобную матрице
(1.37), при условии, что элементы строки этой матрицы соответствуют
одинаковым собственным бра-векторам и различным собственным кет-век-
торам, а элементы столбца - одинаковым собственным кет-векторам и
различным собственным бра-векторам.
После этого любой кет-вектор в пространстве кет-векторов может быть
выражен через полученные нами два собственных кет-вектора j + 1> и | -
1}.В этом случае говорят, что собственные кет-векторы образуют полную
систему. Здесь мы опять несколько опережаем результаты следующих
разделов.
Для того чтобы показать, что любой кет-вектор | Р) |может быть разложен
по собственным кет-векторам |+1> и | - 1), напишем тождество
Р> = Г\Р> =4r(I + oz + I-oz)\P) =
= 4"(7 + °г)\Р> + ^г(Г -а*)\Р>- (1-38)
Рассмотрим теперь каждое слагаемое в (1.38) отдельно. С помощью (1.30)
получим
следовательно, вектор V2 (/ + crz) | Р) является собственным кет-вектором
оператора oz с собственным значением + 1. Это означает, что он может
отличаться от собственного кет-вектора | + 1) только постоянным
