Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
где g2 и g - три различные функции, соответствующие функциям /и /2 и /,
ас - число, то оператор d/d< в этом случае является линейным оператором.
Аналогичным образом можпо определить и другие линейные операторы, как,
например, операторы интегрирования, умножения па постоянную и многие
другие операторы, и построить таким образом целую систему линейных
операторов. Ясно, что для того, чтобы расширить область применимости
таких операторов, необходимо и сами операторы рассматривать в векторном
пространстве.
Поэтому мы должны ввести линейные операторы в пространстве кет- и бра-
векторов. Если с каждым кет-вектором | а) мы связываем другой кет-вектор
j Ъ ) в том же самом пространстве, то связь между этими векторами может
быть использована для определения некоторого оператора D. Эту связь мы
будем записывать в виде
\ЬУ ~ D | а), (1.10)
где оператор D может означать дифференцирование, интегрирование или еще
что-нибудь. Обратим внимание на то, что в дальнейшем оператор всегда
записывается слева от кет-вектора, на который он воздействует.
Нас интересуют только линейные операторы; это означает, что если | я.>, |
а2> и | а) являются кет-векторами и величина с является числом, то
оператор D должеп удовлетворять следующим соотношениям:
D (| Я]) + | я2" = D | алУ + D | "2>, ,,
D (с | о" = cD | а>. V ;
Если известно, каким образом оператор воздействует на каждый кет-вектор в
пространстве кет-векторов, то оператор определяется полностью, и два
оператора Бл и D2 считаются равными друг другу, если Dt | я) = />2 | а)
при любом кет-векторе | о). Оператор D равен пулю, если /Г|а> =
0для^любого кет-вектора |а). Оператор тождественного преобразования D = I
определяется для каждого кет-вектора | а) равенством / | а> = [а).
1.4]
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
31
Теперь мы можем построить алгебру линейных операторов. Определим сумму
двух операторов Z)1 -f D2 с помощью их действия на кет-вектор | а),
(D, + D2) | а > = D, |а> + D2 \ а >, (1.12)
и произведение двух операторов в виде
(D.D,) | а} = D, (D2\а}). (1.13)
Из этого соотношения вытекает, что при = D2 мы мо-
жем определить степени операторов и т. д.
Очевидно, имеют место соотношения
(D1 -f D2) I а) = (D2 + Dx) | a},
[{Dl + D2) + ?>3] | a) = [D, + (D2 + D3)} \ a), (1.14)
[Dx (D2 + _D3)] | a) = D1D2 I a) + DlD3 \ a).
Алгебра А-мерных квадратных матриц является точно такой же, как и алгебра
линейных операторов.
Коммутатор двух операторов D1 и D2 записывается в виде [?>1; -D21 и
определяется с помощью соотношения
D2\ ^ DiD2 - D2D1. (1.15)
В общем случае D±D2 =f= D2DX, что является свойством не
только операторов, по и матриц. Алгебра квантовой механики является
некоммутативной алгеброй. Двумя известными некоммутирующими линейными
операторами являются, например, оператор Dx - х (оператор умножения на х)
и оператор D2 = dldx (оператор дифференцирования по х). Действительно,
нетрудно проверить, что если / (х) является непрерывной и
дифференцируемой функцией от х, то
Оператор умножения на постоянную является линейным и коммутирует со всеми
линейными операторами.
Если два оператора Dx и D2 удовлетворяют уравнениям
D±D2 = D2Di = I, (1.16)
32
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
где / является тождественным оператором, то оператор
Z)2, если он существует, является оператором, обратным
оператору D1. Это записывается в виде
D2 = DГ1, Dx = Df. (1.17
Оператор, обратный произведению операторов, имеет вид
(D.D.D.r - D?D?D?. (1.18)
Как отмечалось ранее, все эти свойства имеют место и для конечных
квадратных матриц. Позднее мы представим операторы с помощью матриц.
Мы определили действие линейных операторов на кет-векторы; теперь мы
должны определить, каким образом эти линейные операторы действуют на бра-
векторы. Для этого рассмотрим кет-вектор
| b) = D | а).
Можно найти скалярное произведение этого кет-вектора на любой бра-вектор,
например (с |; это скалярное произведение <с | Ь) = <с | (D | а" линейно
зависит от кет-вектора |а>, так как оператор D является линейным
оператором. Поэтому скалярное произведение (с | 6> в силу определения
бра-вектора может рассматриваться как скалярное произведение кет-вектора
| а) па некоторый бра-вектор, скажем <d |. Тем самым каждому бра-вектору
(с | сопоставлен определенный бра-вектор <d |. При этом бра-вектор <d |
линейно зависит от (с |, так что бра-вектор <d ) получается из бра-
вектора <с | путем применения к <с | некоторого линейного оператора. В
силу того, что этот неизвестный оператор определяется единственным
способом через D, естественно считать, что он совпадает с оператором D,
т. е.
(d. ! = <с | D.
Условимся, что операторы, воздействующие на бра-векторы, всегда стоят
справа от бра-векторов, так что из приведенных выше определений следует:
<с| (D | а" = ((с | D) | а). (1.19)
Таким образом, нет необходимости использовать в дальнейшем круглые
скобки; каждая из двух частей ра-
1.4]
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
33
вепства (1.19) может быть записана в виде (с ] D \а). Следовательно,
