Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Дирака.
Эта функция, впервые введенная Дираком, пе является функцией в обычном
смысле этого слова. Дирак определил ее как функцию, которая имеет
следующие свойства:
Отсюда видно, что б-функция не является обычной функцией. Однако она
весьма удобна и возможность ее применения обосновывается теорией
распределений*). Наше изложение не будет вполне строгим, и мы определим
б-функ-цию путем задания ее интегральных свойств:
жении(1.51), умножим обе части равенства (1.51) на иП' (х)
*0
ОО Xq
О
П=-оо О
Хо
оо
f(x) = ^dx'f(x') 2 ип{х')ип(х). (1.54)
о
если x=j=x', если х = х'.
(1.55)
Х'-И
(1.56)
*) См. приложение А и [2].
48
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
где б - произвольное положительное число, и
Ж'+Е
J f (х)6 (х - х') dx = f (х'). (1-57)
X'-t
Кроме того, б -функция четная:
б (х) = 6 (- х). (1.58)
Для б-функции существует много интересных представлений. Одно из них,
очень полезное, имеет вид
б (х) = lim • (1.59)
а^.оо 311
Выражение (1.59) действительно обладает свойствами б-функции, ибо при х =
0 6(0) = оо и интеграл по переменной х от правой части (1.59) в пределах
от-оо до 4- оо равен единице. Из выражения (1.59) следует также, что
а
lim f eiKxdx = lim 2-s-^ ка = 2яб (к). (1.60а)
а-> оо а а-*' оо
Дальнейшее изучение этой интересной функции читатель может продолжить по
общеизвестным книгам по квантовой механике [1-5].
Теперь опять перейдем к обсуждению разложения функции/ (х) по полной
системе функций ип (х). Сравнивая выражения (1.54) и (1.57), заключаем,
что
оо
2 ип (х') ип (х) = б (х' - х),
П--ОО
ибо обе части равенства (1.54) должны представлять одну и ту же функцию f
(х).
Последнее соотношение и является соотношением полноты, аналогичным
соотношению полноты (1.49) для дискретного спектра.
Вернемся к случаю, в котором собственные значения наблюдаемой величины L
непрерывны. Если V =/= I", то и в случае непрерывного спектра мы по-
прежнему имеем соотношения ортогональности {V | Z") = 0. Попытаемся
теперь обобщить соотношение (1.46) (ибо по предположе-
1.7] НАБЛЮДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. 6-ФУНКЦИЯ ДИРАКА 49
нию и в этом случае собственные векторы образуют полную систему
собственных кет-векторов) и разложим два произвольных кет-вектора ] С> и
| Z?) в интегралы (вместо рядов) по собственным кет-векторам:
\С) = \c{l')\l')dl', \D) = § d{l")\l")dl". (1.61)
Скалярное произведение этих векторов имеет вид
<С| D) = j dl'c* (I') Jd(Z")<Z' \l") dl'. (1.62)
Так как <Г | Г') = 0, когда I" ф V, то $d {Г) <Г |Г> dl"
всегда равен нулю, если скалярное произведение (V \ V) конечно, ибо
подынтегральное выражение обращается в нуль везде, за исключением одной
точки V = = V. Так как, вообще говоря, <С | D> ф 0, то единственный
вывод, который можно сделать отсюда, это принять, что {V | V) = оо. В
этом случае приходит на помощь б-функция Дирака. С ее помощью соотношение
ортонормировки (1.35) для непрерывного спектра собственных значений можно
обобщить в виде
<l' I Г} = б (V - Г). (1.63)
Тогда в силу свойства (1.56) для б-функции собственные
векторы непрерывного спектра нормируются так, что
f (l'\l")dl" = 1.
Если мы используем условие (1.63) в выражении (1.62) и предположим, что |
С) = |Z>), то получим, что
<С | С) = J dl'c* (V) j с (Г) б {V - Г) dl" = f | с (V) |2 dl' > 0.
(1.64)
Интегрирование во всех выражениях распространяется на весь интервал
собственных значений оператора L.
Из соотношений (1.61) и (1.63) можно вывести соотношения полноты для
непрерывного спектра. Для этого образуем скалярное произведение
<Г | С) = j с (I') <I" | О dl' = [ с (Г) б (Т - I") dl' = с (Г).
(1.65)
50
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
Это выражение аналогично соотношению (1.47) для дискретного спектра. Если
теперь подставить (1.65) в разложение (1.61), то получим
(1.66)
В силу произвольности кет-вектора | С) отсюда следует соотношение полноты
для непрерывного спектра собственных значений:
j| I'ydl' (V
I.
(1.67)
Заметим теперь, что 6-функция Дирака удобна также и при изучении
преобразований Фурье. Например, разложение функции ф (q) в интеграл Фурье
определяется известной формулой
Ф(?)
V'lnh J
а обратное преобразование имеет вид
ч-оо
~ j ф (р) ехр ^ ) dp, (1.68а)
Ф (Р)
Ф(?')ехР -
I dq'. (1.68b)
Если подставить интегральное представление ср (р) в интеграл для функции
ф(д) и переменить порядок интегрирования, то получим
-|-оо -{-эо
ip(q-
ехр
. (1.69)
Последнее интегральное уравнение превращается в тождество, если
1 С dp
) ~Г ехр
2я
ip W - ?")
6(7'
(1.60Ь)
Последнее выражение с точностью до обозначений совпадает с представлением
б-функции (1.60а).
1.7] НАБЛЮДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. 6-ФУНКЦИЯ ДИРАКА 51
Заметим, что некоторые наблюдаемые величины обладают одновременно как
дискретным, так и непрерывным спектрами. Однако обобщение соотношений
ортонормировки и полноты и в данном случае является достаточно простым и
ясным.
В заключение этого раздела мы очень кратко обсудим вопрос о функциях /
(L) наблюдаемой величины L. Если функция / (L) может быть разложена в
