Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
оператор D может сначала действовать на бра-вектор <с |, а потом уже
полученный результат должен скалярыо умножаться на кет-вектор | а), а
можно действовать оператором D в обратном порядке. Свойства операторов,
определяемые соотношениями (1.11)- (1. 14), одинаково справедливы при
применении их как к бра-векторам, так и к кет-векторам. Заметим также,
что заключенное в скобки выражение (с \ D \ а) является некоторым числом,
которое, вообще говоря, может быть комплексным.
Простым примером линейного оператора, который часто встречается в
квантовой теории, является оператор | а) (Ъ | = Р. Этот оператор Р при
действии на некоторый кет-вектор | с) дает выражение
Р | с) = | а) (Ъ | с),
которое представляет собой произведение кет-вектора | а) на некоторое
число <Ъ | с); а при действии Р на бра-вектор <с | выражение
<с | Р = <с | а> (Ъ |
является произведением бра-вектора <6 | на число (с | а). В качестве
упражнения, которое мы оставляем для читателя, можно показать, что
оператор Р удовлетворяет всем требованиям, которые предъявляются к
линейным операторам. В обычном векторном анализе такому оператору Р
соответствует диада вида ij (i, j, k - единичные векторы осей х, у и г).
Тогда (ij-к) = 0, (i-ij) = j и т. д.
В физической интерпретации теории линейные операторы играют основную
роль. Поэтому, следуя Дираку, мы предположим, что каждая величина,
которая характеризует физическую систему и может быть измерена (и которая
называется динамической переменной), описывается вполне определенным
линейным оператором. Эти операторы вводятся в следующем разделе.
Примерами динамических переменных, которые связаны с соответствующими им
линейными операторами, могут быть следующие величины: координата q,
импульс р, угловой момент L, энергия Н и т. д. Эти величины встречаются и
в классической механике. Однако существуют и другие динамические
переменные, такие, как например, спиновый угловой момент
34
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. т
а, не имеющие классических аналогов. В классике все переменные
коммутируют друг с другом. В квантовой же механике постулируется, что
некоторые из операторов не коммутируют между собой. Тогда, с одной
стороны, соотношения коммутации определяют вид алгебры, которой
подчиняются эти операторы, а с другой стороны, само существование
отличных от нуля коммутаторов связано с важным различием между квантовой
и классической механикой.
1.5. Эрмитовы операторы
Линейные операторы, вообще говоря, являются комплексными величинами. Если
мы предполагаем, что этим операторам соответствуют некоторые динамические
переменные, то тогда последние также должны быть комплексными. Однако
такие величины, как импульс, координата ит. д., являются физическими
величинами, и поэтому при измерении они принимают действительные
значения. Следовательно, на операторы, которые описывают физические
величины, должны быть наложены определенные условия, обеспечивающие
вещественность соответствующих физических величин. Таким образом, мы
приходим к представлению об эрмитовом операторе, который вводится
следующим образом.
Бра-вектор, связанный с кет-вектором | q> вида | q) = = L | р>, где/у -
линейный оператор, записывается в виде
(q | = <р \L+ = (L | рУ)+ = (I q})+
Символом L+ обозначается оператор, эрмитовски сопряженный оператору L.
Иными словами, бра-вектор <q |, который эрмитовски сопряжен кет-вектору |
q}, может рассматриваться как результат действия некоторого линейного
оператора L+ [1] на состояние <Р I-
Если мы в соотношении (1.8) примем, что <а I = <Р I L+ и | а) = L | р),
то получим
(р \L+ \ЬУ = (Ь \ЦРу*. (1.20)
Последнее равенство является весьма общим, ибо оно справедливо для любых
двух кет-векторов | р) и [ Ь) и для любого линейного оператора L.
1.5]
ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ
35
В соотношении (1.20) оператор L можно заменить на L+ и получить
<р|?++ |Ь> = <b\L+\p}*.
Если мы снова используем соотношение (1.8), в котором на этот раз примем,
что | а) == 1У | р) и <а | = {р | L, то получим
<р | L | Ъ) = <61 ZA | р>*.
Если мы сравним это выражение с предыдущим, то увидим, что
<р | L++ | Ь} = (р | L I Ь>.
Так как последнее соотношение справедливо для любого кет-вектора | Ь) и
бра-вектора </? |, то отсюда следует, что
L++ = L.
Если линейный оператор L является самосопряженным оператором, т. е.
L = Ь+, (1.21)
то говорят, что этот оператор является эрмитовым оператором. Из
соотношения (1.20) следует, что если оператор L эрмитов, то любые два
кет-вектора | рУ и | б) должны удовлетворять равенству
(р \L |Ь> = (Ъ\Ь \р;*. (1.22)
Справедливо и обратное утверждение: любой оператор, который удовлетворяет
соотношению типа (1.22) при любых | рУ и | б), является эрмитовым
оператором.
Для любого линейного оператора могут быть доказаны следующие соотношения:
(cL J а))+ = с* <а I1У (с - некоторое число), [{Li -Ь L2) | а)1+ = (а j
(L1 -f- La ),
(LJ^ayf = <а\Ь?Ь1, (1.23)
((а | LyL2Ls) = L3 L3 iX |a),
<a | LxLt | by = (b j L\ L\ ) a),
