Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
(|a><b|)+ = | by (a |.
Алгебра сопряженных операторов совпадает с алгеброй конечных квадратных
матриц.
36
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
1.6. Задача на собственные значения
Как уже отмечалось, бра- и кет-векторы или, точнее, направления этих
векторов сопоставляются состояниям системы, а линейные эрмитовы операторы
- динамическим переменным, которые описывают поведение системы. В
следующем разделе будет показано, как эти общие математические
представления связываются с физическими измерениями, проводимыми над
системой. Однако прежде следует определить собственные значения эрмитовых
операторов.
Задача о собственных значениях является известной задачей не только в
классической механике, но и во всей классической физике. Один из самых
простых примеров такой задачи состоит в решении уравнения вида
L и (х) = Хи (х),
где L = d2/dx2, а функция и (х) и постоянная X неизвестны. Е ели к этому
уравнению добавить граничные условия и (0) = и (I) = 0, то можно
показать, что величина X может принимать только вполне определенный
дискретный набор собственных значений, определяемых соотношением Хп -
п2п2112, где п =0, + 1, +2, ... Связанные с ними собственные функции ип
(х) имеют вид ип (х) = = sin (nnxll). Заметим, что действие оператора L
на собственную функцию ип (х) сводится к воспроизведению этой функции.
Однако если оператор L действует на произвольную функцию и(х), то, вообще
говоря, это не должно приводить к воспроизведению той же самой функции и
(х).
Точно так же можно сформулировать задачу о собственных значениях в кет-
(и бра-) пространстве. Пусть L является линейным оператором, | а) -
некоторый вектор. Если оператор L, действуя на'этот кет-вектор, снова
дает тот же самый кет-вектор | а), умноженный на некоторое число I, то
тогда кет-вектор [ а) является собственным кет-вектором оператора L, а
число I - собственным значением этого оператора. Это утверждение может
быть записано в виде
L | а > = I | а >.
ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
37
Собственно говоря, в этом и состоит задача о собственных значениях в кет-
пространстве: с помощью известного оператора L требуется найти
неизвестные кет-вектор | а) и число I так, чтобы при действии оператора L
на кет-вектор | а) воспроизводился бы тот же самый кет-вектор | а).
Обычно собственный кет-вектор обозначают тем же самым символом, которым
обозначается и собственное значение оператора. В этом случае уравнение
для задачи на собственные значения записывается в виде
Аналогичным образом формулируется задача на собственные значения
оператора D для бра-векторов <d |:
В этой книге мы для простоты будем обычно рассматривать только такие
случаи, когда каждому собственному значению соответствует единственный
собственный кет-(или бра-) вектор. Если заданному собственному значению
соответствует несколько собственных векторов, то говорят, что состояние
системы вырождено. Случай вырождения может быть рассмотрен достаточно
легко, однако он не будет рассматриваться в дальнейшем для того, чтобы
избежать излишнего усложнения формул.
Если | 1у является собственным кет-вектором оператора L, то в силу
соотношения (1.24) любая постоянная с, умноженная на кет-вектор | ?),
также дает собственный кет-вектор того же самого оператора L и с тем же
самым собственным значением I. В соответствии с нашими предположениями
состояния системы, представляемые кет-векторами | I) и с | I), являются
одинаковыми.
По причинам, которые станут понятными в следующем разделе, мы будем
интересоваться решением задачи на собственные значения только для
линейных эрмитовых операторов. Однако прежде, чем переходить к решению
конкретных задач, докажем две очень важные теоремы для линейных эрмитовых
операторов.
Теорема 1. Собственные значения линейных эрмитовых операторов
вещественны.
Доказательство. Пусть L - линейный эрмитов оператор. Собственные кет-
векторы этого оператора
L \ly - I | Z>.
(1.24)
(d | D = d <( d |.
(1.25)
38
ДНЯАКОВСКАЯ ФОЯМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
удовлетворяют уравнению
L | i> = i! г>.
Если мы образуем скалярное произведение обеих сторон этого равенства на
бра-вектор (I |, то получим
(I | L | I) = I (I | Z). (1.26)
Теперь, если мы возьмем комплексно сопряженные выражения от обеих сторон
этого равенства и воспользуемся соотношением (1.20), то получим
а I ь 11} * = <1 | L+ I I) =1* о I Is). (1.27)
Из равенств (1.27) и (1.26) видно, что если (I | I) =j= 0 и оператор L
эрмитов, то I = I*. Теорема доказана. Равенство (I | 1} - 0 выполняется
только в том тривиальном и неинтересном для нас случае, когда | 1} - 0.
Теорема 2. Два собственных вектора линейного эрмитова оператора L,
принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть V и I" - два собственных
значения оператора L, а | V) и | Vs) - собственные векторы,
соответствующие этим собственным значениям,
причем L = L+ и V, I" вещественны. Тогда
L \ Vs) = Е I D. (1.28)
{Г \ L - I" < 1"\. (1.29)
Если мы образуем теперь скалярные произведения равенства (1.28) на вектор
